4^4 CHAPITRE IX. 



qui dépendent algébriquement des premiers; d'après le théorème 

 général, la différence 



est égale à une fonction rationnelle des coefficients des deux 

 courbes G^', C/, augmentée d'une somme de logarithmes de fonc- 

 tions rationnelles des mêmes coefficients. On a donc bien 



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C, Al, ..., A^ étant des constantes et cp, cp^, ..., cp^ des fonctions 

 rationnelles des coordonnées des /> -+- i points donnés (^^, u^), ..., 

 {^P-\-\, Up+\)' La proposition est donc établie. 



Si, en particulier, l'intégrale ç{z, w) est de première espèce, 

 la différence 



P+i 



^^{Zi, Ui)~^ç{z),,u'k) 



A ^ 1 



se réduit à une constante ^'(a, |3). La proposition générale peut, 

 dans ce cas, s'énoncer ainsi : La somme des valeurs d'une inté- 

 grale ahélienne de première espèce en un nombre quelconque 

 de points analytiques est égale, à une constante près, à la 

 somme des valeurs de la lyiême intégrale en p points analy- 

 tiques seulement, qui dépendent algébriquement des pre- 

 miers. 



C'est le théorème d'addition pour les intégrales de première 

 espèce. 



193. On déduit de là sans difficulté l'intégration des équations 

 différentielles dites abéliennes, dans le cas le plus général. 

 Soient 



i^i= j oi(z,u)dz, V2= r<f2{z,u)dz, ..., i>p=r 



cpp(^, u)dz 



p intégrales linéairement indépendantes de première espèce, 

 attachées à une courbe de genre p. On donne le nom d'équa- 



