THÉORÉxME d'ABEL. 4^5 



lions différentielles abéliennes au système d'équations suivant 



I Oi(^i, Ml)û?^i-r-Oi(^2 7 Ui)dZi-^...— Oi{Zp, U^) dZp -h 'Oi{Zp^i, Up^i) dZp^i= o, 

 1 02(-Si, Wi)<i^l-}- -^O^i^p^l, Up^i)dZp^i = o, 



\ cp/,(^i, ai)<i^i -F 4-c3p(^^-+-,,î^p^i)c?.Sp+, = o, 



où l'on suppose toujours zi et ui liés par la relation F{zi, ui) = o. 

 Ces p équations définissent p des points analytiques {zi, ui) en 

 fonction du (/7-f-i)'^™% par exemple, {zo, Uo)^ •••, (^/>+o «^/j+Oî 

 en fonction de (^i, ?^,), quand on se donne les valeurs initiales 

 (?,,Th), (io, -^.2): ...,(?/.+., -^^p+i)' D'après les théorèmes géné- 

 raux de Cauchy, la solution du système (34), où les valeurs ini- 

 tiales sont les précédentes, est complètement définie (*). Cette 

 solution est d'ailleurs donnée par les équations 



(35) ' 



( i'pi^l, U\)-r- -^VpiZp^i, Up^i)= Vpi^u 'Ttl)-^-'-^ i'pi^p^l, "^tp-hl), 



équivalentes aux équations (34), en tenant compte des valeurs 

 initiales. Ces relations paraissent transcendantes, mais elles sont, 

 en réalité, algébriques (Cf. 179). Imaginons, en effet, qu'on ait 

 l'équation d'un faisceau de courbes 



(36) fiz,u)^lf,{z,u) = o 



rencontrant la courbe donnée en /? 4- 1 points variables seulement, 

 ces p -^ I points variables se réduisant aux /? -i- i points donnés 

 (;,,Tn), .. ., {^p+iyTip^i) pour une des courbes du faisceau, par 

 exemple, pour la courbe /(^, ii)= o. La courbe du faisceau (36) 



(37) /(-, w)/i(-i, "i)-/i(^, iOAm, "i)= o 



rencontre la courbe donnée au point (3,, Ut) et, en outre, en 

 /? points (30, Wo),. . .,(-/^+«, ap+i)\2iTisih[esi\vec{Ziy z^,). Ce groupe 

 dep points se réduit au groupe des points (^o? '^■2)7 - • - •< {^p+i^ '^i/'+i) 



(') Nous négligeons les cas exceptionnels où les p — i points (^, tJ seraient 

 sur une courbe adjointe d'ordre ni — 3. On serait conduit à des solutions singulières 

 que nous laissons de côté. 



