THÉORÈME d'ABEL. 4^9 



La courbe (47) rencontre la courbe donnée en un troisième point 

 {z.3,Uz) dont l'abscisse ^3 est racine de l'équation du troisième 



degré 



(z^ -^ OLZ -r- oLiY- = z'* -h Xiz^ -i- Ai^^ -+- Aa^-i- A4 



OU 



(Al — 2a)^3_^(A2— a2— 2a,)i;2-+-(A3— 2aai)5-- Âi-al = o; 



les deux autres racines sont ^, et Z2- On a entre ces racines les 

 relations 



^i-i-^2+^3- Ai-2a ' 



ZiZ2-+- Zs{Zi-\- Z2) = 



a'-f- 2ai — A2 

 Al — aa 



A3— 2 gai 



Al — IX 



l'intégrale générale de l'équation (46) peut donc s'écrire sous l'une 

 des trois formes suivantes 



a--i-ioii — Ao . , ^ p 



7 ( -1 -T- -52 j = ^, 



Al — 2 a 



A3— 2aai p, , , 



Al — 2 a 



af— Ai .. 



= K^ZiZo, 



Al — 2a 



OÙ l'on suppose a et a, remplacés par leurs expressions (48). Si 

 la relation considérée a été mise sous la forme normale 



u^^=.ii-z^^){i-k^-z^-)=k-^(^z^-'-^^'-^^,)^ 



il suffît de prendre A, = o, Ao = — -^^^^ Ag^o, A,= ^-Si 

 l'on adopte la seconde des formes précédentes pour l'intégrale gé- 

 nérale, il reste 



ai — ZiZ2=^ C{zi-i- Z2) 



ou 



Zi ^^2 — -^2 ^'1 . 



Ci = 5 —^ j 



zi ^2 



on retrouve la formule habituelle qui donne l'intégrale générale 

 de l'équation d'Euler. 



