432 CHAPITRE IX. 



L'application directe du théorème d'Abel aux intégrales de troi- 

 sième espèce conduit aisément aux mêmes résultats. Étant donnée 

 la relation 



considérons la fonction rationnelle 



^(z, u) = 



qui admet trois zéros {z^^ u^), {zo, ih), (-3, u^) et trois infinis 

 {z\^ u\)^ {z[,^ u'^), (z.^, u'.^), et l'intégrale de troisième espèce / -—^ 

 qui a ses deux points critiques rejetés à l'infini. La fonction 

 (£>{z, II) reprend la même valeur^ en ces deux points critiques; 

 donc, d'après la formule générale (10), on a 



Laissons fixes les coefficients y, 8, et faisons varier a et [3j le 

 second membre de l'égalité précédente conserve une valeur con- 

 stante. On a donc 



dzi dz2 dz^ 



— - -i 1 '- = o 



ll\ ^2 W3 



(^ij '^i)» (^2,^2)^ (^3 5 ^'3) désignant les coordonnées des trois 

 points d'intersection variables de la courbe donnée u-=zi —^2 

 avec la courbe mobile u^= !-{- a.z-^ '^z^. 

 L'intégrale générale de l'équation 



dz^ dzi 



s'obtient donc en posant ^a^const. Le calcul s'achève comme 

 au n« 195. 



198. Le théorème d'Abel s'étend aux courbes gauches algé- 



