THÉORÈME D ABEL. 433 



briques. Soit C une courbe plane de genre/?, représentée par 

 l'équation 



(52) F(z,u) = o; 

 le point de coordonnées (X, Y, Z), 



(53) X=/(z,^^), \ = o{z,u\ Z = ^{z,u\ 



oùf(z, u). '^(z, u), ^(5, u) sont des fonctions rationnelles, dé- 

 crit une courbe gauche F, qui correspond point par point à la 

 courbe plane G, si les fonctions/, cp, ^ n'ont pas été prises d'une 

 façon particulière, ce que nous supposerons; de telle sorte qu'in- 

 versement z et u sont des fonctions rationnelles de X, Y, Z. Toute 

 intégrale de la forme 



(54) / 



a^/X + 3f/Y-i--r/Z. 



prise le long de la courbe F, où a, ^3, y sont des fonctions ration- 

 nelles de X, Y, Z, se change, par la substitution (53), en une 



intégrale abélienne / R(^, ii)dz relative à la courbe C. D'autre 



part, soit 



TT/v V V P(X,Y,Z) 



"^^'''^^=QIX7YX) 



une fonction rationnelle, P et Q étant deux poljnomes du même 

 degré; si l'on y remplace X, Y, Z pary(^, u), 'f (-^, w), ^(^-j w), 

 il vient 



n(x, Y, Z) = n,('^, «), 



n,(^, u) étant une fonction rationnelle du point analytique (z, u), 

 dont les zéros correspondent aux points d'intersection de la courbe 

 gauche F avec la surface S, qui a pour équation P(X, Y, Z) = o, 

 et les pôles aux points d'intersection de F avec la surface S' repré- 

 sentée par l'équation Q(X,Y, Z) = o. On peut donc, en appli- 

 quant le théorème d'Abel, exprimer, au moyen de quantités algé- 

 briques et logarithmiques, la différence entre la somme des valeurs 

 de l'intégrale (54) aux points d'intersection de la courbe gauche F 

 et de la surface S, et la somme analogue aux points d'intersection 

 de F et de S'. En particulier, si l'intégrale considérée est de pre- 

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