LE PROBLÈME DE l' IN VE R S ION. 435 



CHAPITRE X. 



LE PROBLÈME DE L'INVERSION (i). 



Hecherche des courbes dont les coordonnées sont des fonctions uniformes d'une 

 intégrale abélicnne attachée à cette courbe. — Les trois formes possibles de 

 rintégrale. — Inversion de l'intégrale de première espèce attachée à unfi courbe 

 du premier genre. — Généralités sur les fonctions doublement périodiques. — 

 Recherche des équations F(u,u') = o, qui admettent une intégrale uniforme. 



— Méthode de M. Hermite. — Application aux équations binômes. — Fonctions 

 qui admettent un théorème d'addition algébrique. — Généralisation du problème. 



— Le problème d'inversion de Jacobi. — Extension du problème de Jacobi. 



199. Le problème que nous allons d'abord traiter peut se for- 

 muler ainsi : Etant donnée une relation algébrique irré- 

 ductible 



(I) F(^,.0 = o, 



peut-on trouver une fonction rationnelle R(-^, u) telle qu^en 

 posant 



(2) 



1 R(^, u)dz, 



à une valeur de w ne corresponde qu^un point analytique 



S'il en est ainsi, les coordonnées^ et w d'un point de la courbe (i) 

 sont des fonctions uniformes de w. D'après la façon dont ce problème 

 est posé, il est clair qu'on peut effectuer sur la courbe considérée 



(') Auteurs à consulter: Jacobi, De functionibus duarum variabilium qua- 

 drupliciter periodicis, quitus theorîa transcendentiuni Abelianarum inràtilur 

 {Journal de Crelle, t. XV) ; — Briot et Bouquet, Recherches sur la théorie des 

 fonctions {Journal de l'École Polytechnique, XXXVP Cahier); Théorie des 

 fonctions doublement périodiques, Livre V, Chap. IV. 



