436 CHAPITRE X. 



une transformation birationnelle quelconque. Nous pouvons donc 

 supposer que la surface de Riemann T, composée de m feuillets, 

 qui correspond à l'équation F = o, n'a aucun point de ramifica- 

 tion à l'infini. Cela posé, la fonction R(^, u) doit satisfaire aux 

 conditions suivantes : 



1° Cette fonction ne peut s^ annuler pour aucun point de la 

 surface de Biemann à distance finie. En effet, soit d'abord 

 (a, h) un point non de ramification à distance finie. Si R(«, h) 

 était nul, on aurait, dans le domaine du point (a, ^), 



R(^, t^) = A(^ — a)'^-l- B(^ — a)«+i H- . . . 

 et, par suite. 



Par un raisonnement bien connu, on en conclut que, aune valeur 

 de w voisine de w(a, b), correspondent, pour z, {n + i) valeurs 

 voisines de a qui se permutent circulairement lorsque le point qui 

 figure la variable w décrit dans son plan un petit cercle autour du 

 point (v(a, b). 



Soit, en second lieu, (a, b) un point de ramification d'ordre 

 r — ik distance finie. Si l'on pose ^ = a -j- r, on en déduit 

 uz= b -i-o(t), cp(^) désignant une fonction uniforme de t dans le 

 voisinage de l'origine ; le domaine du point de ramification {a, b) 

 correspond d'une façon univoque au domaine du point t = o sur 

 le plan où l'on représente la valeur de t. En substituant ces va- 

 leurs de z et de u dans la fonction rationnelle R{z, u), il vient 



R(^, u) = ^^^•(^■^0 + Al ^ + ...), 

 le coefficient Aq n'étant pas nul. On a de même 



w= f'n{z,u)d^= Ç tf^{k^-i-k^t-^...)rt''-^dt] 



si le nombre entier k était positif, on voit, comme tout à l'heure, 

 que t et, par suite, z et u ne pourraient être des fonctions uniformes 

 de w dans le voisinage de w(a, b). 



[1 en serait encore de même si le nombre entier k -h r — i était 

 positif. On doit donc avoir A" < i — r, c'est-à-dire que le dévelop- 



