LE PROBLÈME DE l' IN VERS ION. 4^7 



pement de R(:?, u) doit commencer par un terme à exposant né- 

 gatif, la valeur absolue de cet exposant étant au moins égale à /' — i . 

 Par conséquent : 



2° Tout point de ramification d^ ordre r — i à dislance 

 finie doit être un pôle de R(:^, u)^ d^ ordre r — \ au moins. 



Enfin, en étudiant ce qui se passe aux points à l'infini, on 

 voit que : 



3® Les m valeurs de z-V^{z, u) pour z infini sojit différentes 

 de zéro. 



Si l'on pose, en effet, ^= — , il vient 



w =Jr{z, u)dz =-f^ (^, ' ") 7^ * 

 D'après la première propriété, le produit 



ne peut être nul pour ^' = o ; par conséquent -3-R(:?, ?/) ne peut 

 être nul pour z infini. 11 suit de là que les m développements de 

 la fonction rationnelle K[z, u) pour des valeurs très grandes de z 



commenceront par un terme en - ou en —5 à moins de contenir 



des puissances positives de z ou de commencer par un terme 

 constant. Mais aucun de ces développements ne peut commencer 



par un terme en — ou un terme de degré supérieur. Si donc un 



point à l'infini de la surface de Riemann est un zéro pour la fonc- 

 tion rationnelle R(i?, «), l'ordre de ce zéro est au plus égal à 2. 



200. Rapprochons les propriétés qui viennent d'être démon- 

 trées pour la fonction R(^, u). D'après la première et la troisième,, 

 le nombre des zéros de K(z, u) est au plus égal à 2 m, et cette 

 limite n'est atteinte que si chaque point à l'infini est un zéro du 

 second ordre. D'après la seconde propriété, chaque point de rami- 

 fication d'ordre /• — i de la surface de Riemann est un pôle d'ordre 

 /• — I au moins de R(^, u). Dénombre des pôles est donc au moins 

 égal à !(/• — i), et cette limite inférieure n'est atteinte que si 

 chaque point de ramification d'ordre /• — i est un pôle d'ordre 



