438 CHAPITRE X. 



/• — I et si la fonction R(c, u) n'admet pas d'autres pôles. Gomme 

 le nombre des zéros est égal au nombre des infinis, on a donc 



(4) S(r — i)-î-o = 2m, 



8 étant nul ou positif , Portons la valeur de S(/- — i) dans la rela- 

 tion fondamentale qui donne le genre 



il reste 



(6) /> = !--' 



et cette équation n'admet que les deux solutions 



jo = I, S = o, 



p = o, 



= 2. 



Nous voyons déjà que le problème proposé n'admet une solu- 

 tion que si le genre de la courbe considérée est zéro ou un. 



Si p = I, = o, les seuls pôles de R(s, u) sont les points de 

 ramification de la surface et tout point de ramification d'ordre 

 ;. __ I est un pôle d'ordre r — \. Les m points de la surface à l'infini 

 sont des zéros du second ordre, c'est-à-dire que, dans le domaine 

 de chacun de ces points, R(^, u) a un développement de la forme 



R(^, u) = -, 



On voit que l'intégrale f^{z, u)dzresle finie en tous les points 



de T, et, comme il n'existe qu'une intégrale de première espèce 

 pour la courbe F = o, de genre un, cette condition détermine 

 complètement la fonction rationnelle R(^, u), à un facteur con- 

 stant près. 



Prenons la seconde solution p = o, 8 — 2. On peut faire plu- 

 sieurs hypothèses sur les pôles et les zéros de R{z, u). On peut 

 supposer d'abord que le nombre des pôles est égal à S(/' — i) + 2, 

 chaque point à l'infini étant alors un zéro du second ordre. Cette 

 hypothèse se subdivise elle-même en plusieurs autres, que nous 

 allons énumérer : 



