LE PROBLÈME DE l'INVERSION. 489 



i"" Chaque point de ramification d'ordre /' — i est un pôle 

 d'ordre r — i de R(:?, u), qui admet en outre deux pôles simples 

 ou un pôle double, distincts des points de ramification ; 



2*^ Un des points de ramification d'ordre ;* — i est un pôle 

 d'ordre r deK{z, u), qui admet en outre un pôle simple, distinct 

 des points de ramification; 



3° Deux points de ramification d'ordre /• — i et r' — i sont res- 

 pectivement des pôles d'ordre ;* et /' ; 



4" Un point de ramification d'ordre /• — i est un pôle d'ordre 

 /• -h I de R(^, u). 



Si le nombre des pôles est S(7' — i) -}- i, le nombre des zéros 

 est 2 m — I ; la fonction a un zéro simple et (m — i) zéros doubles 

 à l'infini. A distance finie, elle a un pôle simple distinct des points 

 de ramification, ou bien un point de ramification d'ordre r — i 

 est un pôle d'ordre /'. 



Enfin, si le nombre des pôles est ]S(/- — i) = 2m — 2, la fonc- 

 tion a deux zéros simples et (m — 2) zéros doubles à l'infini, ou 

 bien m — i zéros doubles, le dernier point à l'infini de la sur- 

 face n'étaut alors ni un pôle ni un zéro pour R(-G, u). 



Si l'on passe en revue tous les cas qui viennent d'être énu- 

 mérés, on reconnaît immédiatement que l'intégrale 



/ 



R(j, u)d: 



est. dans tous ces cas, soit une intégrale de seconde espèce avec 

 un seul pôle simple, soit une intégrale de troisième espèce. 



201. Les conditions sur lesquelles nous nous sommes appuyés 

 pour déterminer la fonction rationnelle R(5, u) sont simplement 

 nécessaires. Il nous reste à examiner si ces conditions sont suffi- 

 santes^ en d'autres termes, si les solutions que nous venons d'ob- 

 tenir répondent bien à la question ('). 



(') C'est là un point sur lequel les raisonnements de Briot et Bouquet prêtent 

 à des objections. On voit bien sans difficulté que, dans le voisinage de toute va- 

 leur Wg de «', z et u sont des fonctions uniformes de w — (V^, mais cela ne suffit 

 pas pour prouver que z et u sont des fonctions qui n'admettent qu'une détermi- 

 nation pour chaque valeur de w. L'étude approfondie des équations linéaires du 

 second ordre a conduit à une conclusion tout opposée. Pour plus de détails, nous 



