44o CHAPITRE X. 



Considérons d'abord le dernier cas, c'est-à-dire le cas d'une 

 courbe de genre zéro F(^, u)=: o et d'une intégrale 



w = I R{z, u)dz 



de troisième espèce, ou de seconde espèce avec un pôle simple. 

 Nous avons vu plus haut (§ i30) que z et a peuvent s'exprimer 

 en fonctions rationnelles d'un paramètre t 



z=f{t), u = o{t)- 



par ce changement de variable, une intégrale de seconde espèce 

 se change en une fraction simple, telle que 



A 



1 



t — a 

 tandis qu'une intégrale de troisième espèce a pour expression 



On vo.it que, dans le premier cas, z et u sont égales à des fonc- 

 tions rationnelles de pp, et, dans le second cas, à des fonctions 



w 



rationnelles de e^. 



Soit, en second lieu, F(^,z/) = o l'équation d'une courbe de 

 genre i , et 



' 'Ri^z, u)dz 



l'intégrale de première espèce attachée à cette courbe. A une va- 

 leur de iv ne correspond qu'un point analytique (^,«); si, en 

 effet, on pouvait trouver deux points (gi, iii), (^25 1^2) tels que 

 l'on ait 



OU, plus généralement, tels que (v(^<, Ui) et (v(52, 112) ne diffèrent 



renverrons le lecteur aux Mémoires de M. Poincaré sur la théorie des fonctions 

 fuchsiennes, et à une Lettre de M. Fuchs à M. Borchardt, insérée dans le Bulletin 

 des Sciences mathématiques (t. IV, 2^ série, p. 334). 



