LE PROBLÈME DE l'iNVERSION. 44» 



que d'une période, on pourrait former une fonction rationnelle 

 de ^ et de u^ admettant un seul pôle simple {z-^^u-^) et un seul 

 zéro simple {z^^ u^) (§ 179). Or, sur une surface de Riemann de 

 genre/? >> o, il ne peut exister de fonction uniforme admettant 

 un seul infini du premier ordre (§ 174). 



En résumant tout ce qui précède, on peut donc énoncer le 

 théorème suivant : 



Étant donnée une courbe algébrique de genre p^ 



(7) F(^, M) = o, 



pour qu'il existe une fonction rationnelle R(:5, u) de z et de u 

 telle qu'en posant 



f ^{z, u) dz, 



(=0, «0) 



les coordonnées z et u soient des fonctions uniformes de w, il 

 faut et il suffit que le genre soit égal à zéro ou à un. Si p = o, 

 il suffira de choisir R(^, u). de façon que w soit une intégrale 

 de troisième espèce, ou une intégrale de seconde espèce, avec un 

 pôle du premier ordre. Si p ^= i, on prendra pour w l'inté- 

 grale de première espèce attachée à la courbe. 



Dans le cas d'une courbe de genre zéro, on a deux, solutions 

 différentes. Si l'on prend pour w une intégrale de seconde espèce, 

 à un point de T correspond une seule valeur de w et inversement. 

 La surface T correspond donc, point par point, à un plan ou à 

 une sphère. C'est, au fond, le mode de représentation ordinaire 

 des courbes unicursales. Si l'on prend pour w une intégrale de 

 troisième espèce, à un point de T correspondent une infinité de 

 valeurs de w comprises dans la formule a-}- 2/^7:/, m étant 

 un nombre entier. Divisons le plan des w en bandes indéfinies 

 de largeur 27: par des parallèles à Taxe des quantités réelles. 

 Lorsque la variable w parcourt une de ces bandes , le point 

 (5, u) passe une fois et une seule fois par tout point de la sur- 

 face T. Pour transformer la surface d'une de ces bandes en une 

 surface fermée, il suffît de réunir les deux bords opposés en appli- 

 quant l'un sur l'autre les deux points qui correspondent aux va- 

 leurs w et w -\- iT^i. On obtient ainsi une surface fermée analogue 



