442 CHAPITRE X. 



à un cylindre de révolution indéfini ou à un fuseau très allongé ; 

 cette surface est bien du genre zéro, et les deux sommets du fu- 

 seau correspondent aux points critiques logarithmiques de l'inté- 

 grale de troisième espèce. 



202. Soient enfin F (5, z/) = o une courbe du premier genre et (v 

 l'intégrale de première espèce. A un point analytique (^, u) cor- 

 respondent une infinité de valeurs de w comprises dans la formule 

 (V -f- /?zw -H m' bi' , m et m' étant deux nombres entiers et w, w' les 

 deux périodes distinctes, dont le rapport est toujours imaginaire, 

 tandis qu'à une valeur de l'intégrale w ne correspond qu'un point 

 analytique (^, u). Imaginons qu'on ait ramené la surface T à une 

 surface simplement connexe T^ au moyen de deux coupures a 

 et b. Nous pouvons supposer qu'on a pris pour co et (o' les périodes 

 qui correspondent respectivement à ces deux coupures. Lorsque 

 le point (^, u) décrit la surface T', le point qui figure la valeur 

 de w décrit dans son plan une portion finie de surface et les 

 deux surfaces T' et Q se correspondent point par point d'une 

 façon univoque. Il est aisé de se rendre compte de la forme de ù. 

 En effet, lorsque le point [z, u) décrit le bord de la coupure a, le 

 point çç décrit une certaine ligne L; lorsque (5, u) décrit le bord 

 opposé de a, w a augmenté de w, et, par conséquent, à ce bord 

 correspond une ligne égale à L, qui se déduirait de L par une 

 translation de la quantité w. De même, aux deux bords opposés 

 de la coupure b correspondent deux lignes Li et L', , qui se dé- 

 duisent l'une de l'autre par une translation égale à co'. L'aire ù a 

 donc la forme d'un parallélogramme curviligne {fig. 90). 



Le point (5, u) décrivant le contour total de T', le point w dé- 

 crit le contour ADGBA. Soit maintenant P un point à l'intérieur 

 de ù^ qui représente la quantité imaginaire a. Lorsque le point 

 (^, u) décrit la surface T', l'intégrale w passe une fois et une seule 

 fois par la valeur a. Il est évident d'abord, d'après ce que l'on sait 

 déjà, qu'elle ne peut prendre la valeur a plus d'une fois; mais 

 rien ne prouve jusqu'ici que w atteint bien toutes les valeurs in- 

 térieures à l'aire ù. Pour le démontrer, considérons l'intégrale 



dw 



r dw 



J w — 



