LE PROBLÈME DE l'iNVERSION. 44^ 



prise le long du contour total de T', dans le sens direct; elle a 

 pour valeur l'accroissement de log((V^ — a) lorsque iv décrit dans 

 le sens direct le contour ADCBA, c'est-à-dire 27:/. D'ailleurs elle 



Fig. 90. 



C(<x+(jd+c»)') 



(at-uj) 



A (a) 



est égale, d'après le théorème de Cauchy, au produit de 27:1 par 



la somme des résidus de -j ■ à l'intérieur de T'. Ces résidus 



az w — a 



ne peuvent provenir que des pôles de -r^ ou des racines de (v — a. 



Les résidus provenant des pôles de -p sont tous nuls, puisque iv 



est une intégrale de première espèce, et toute racine de iv — a 

 donne un résidu égal à + i . La comparaison de ces deux valeurs 



de l'intégrale définie / c/log((T'— a) prouve donc que l'équation 



iv = y. admet une racine et une seule sur la surface T'. Le même 

 raisonnement prouve d'ailleurs que, si jB est une quantité imagi- 

 naire représentée par un point extérieur à Q, l'équation (T' = |^ 

 n'admet aucune racine sur la surface T'. 



Si l'on joint les deux bords opposés L et L', puis les deux bords 

 L, et Lp en réunissant les points qui correspondent à im même 

 point analytique (^, w), on obtient une surface fermée analogue à 

 un tore, qui correspond point par point, d'une façon univoque, 

 à la surface de Riemann T. Cette surface fermée est bien du pre- 

 mier genre. 



Si maintenant on fait mouvoir le point analytique (z, u) d'une 

 façon quelconque sur la surface T, le point qui figure la valeur 



