444 CHAPITRE X. 



de w atteindra un point quelconque du plan. Par exemple, imagi- 

 nons que le point (z, u) franchisse une seule fois la coupure a et 

 décrive ensuite de nouveau la surface T', on obtient pour w des 

 valeurs qui se déduisent des valeurs déjà obtenues par l'addition 

 de la période w. Ces valeurs de w recouvrent une aire 0| qui se 

 déduit de Ù par une translation égale à w ; en franchissant un 

 nombre quelconque de fois la coupure co dans un sens ou dans 

 l'autre, on obtient ainsi une suite de parallélogrammes curvi- 

 lignes tous égaux, deux parallélogrammes consécutifs ayant un 

 côté commun. On obtiendrait de même une suite de parallélo- 

 grammes se déduisant du premier par des translations égales à 

 ih w', ±20)', di 3to', . . . , si le point (^, u) franchit un nombre 

 quelconque de fois la coupure b. Enfin, si le point (5, u) décrit 

 sur la surface T un chemin quelconque, on obtient une infinité de 

 parallélogrammes se déduisant de Q par des translations m co -\- n co'. 

 Ces parallélogrammes recouvrent tout le plan, une fois et une 

 seule, fois. A chaque point du plan des w correspond ainsi un 

 point et un seul de la surface T, et à tous les points du plan des w 

 qui représentent les quantités imaginaires (v + m co -f- n w' cor- 

 respond le même point de T. 



203. Les fonctions ^ et m de w sont donc des fonctions uni- 

 formes définies dans tout le plan de cette variable. Ces fonctions 

 ne présentent que des discontinuités polaires à distance finie. 

 Pour le démontrer, il est évidemment permis, comme on Ta fait 

 plus haut, de supposer que la surface de Riemann, composée de 

 m feuillets, n'a aucun point de ramification à l'infini. Soit 





l'intégrale de première espèce; la fonction rationnelle R(^, 11) 

 admet m zéros du second ordre à l'infini, et tout point de ramifi- 

 cation d'ordre /• — i est un pôle du même ordre. Ce sont là les 

 seuls pôles et les seuls zéros de R(^, u) (§200). Imaginons que 

 la variable w^ partant de zéro, arrive à un point Wy, du plan; le 

 point analytique (^, iC) arrive à un certain point (a, [^) de T. Si 

 ce point est à distance finie, comme R(a, P) n'est pas nul, on a, 



