LE PROBLÈME DE l'iNVERSION. 44^ 



dans le domaine de ce point, 



(r _ w^ = X(z — a) + B(^ — y.)--}- 



et Ton en tire pour z — a un développement de la forme 



^-a= __2'4-Bi((r — «^a)2-h.... 



D'ailleurs, u — '^ est dans le domaine de ce point une fonction 

 uniforme de z — a, représentée par un développement tel que 



M-? = (^-a)^-[Ao-i-Ai(^-a)^...l. 



En remplaçant z — y. par sa valeur, on en conclut que le point (T'^^ 

 est un pôle ou un point ordinaire pour u. 



Si le point (a, J^) est un point de ramification d'ordre r — i, on 

 a dans le domaine de ce point 



R(-', n) = ^^7^ - ^^3 + • • • ' ^ ^ «• 



On en tire, en posant ; = a + z''', 



w = r f {X ^ B z' -h . . .) dz =AV:^-\- Xrz' -^ .... 



Par suite, z' est régulier dans le domaine du point iv = w^; il 

 en est donc de même de z. Quant à u, u — îïi est une fonction uni- 

 forme de z' et par suite de w, ne présentant jamais qu'un nombre 

 fini de termes à exposants négatifs. Le point Wa est donc un pôle 

 ou un point ordinaire pour u. Le calcul précédent met bien en 

 évidence ce fait que la variable z tourne /• fois autour du point a 

 lorsque w décrit un petit cercle autour de tv^. 



Enfin, supposons que le point analytique {z^ u) s'en aille à 

 l'infini, lorsque w prend la valeur finie w^. Dans le domaine d'un 

 point à l'infini de T, on a 



