446 CHAPITRE X. 



et par suite, en posant z=z —,i 



j n{z,u)clz = — J \,^ ^ dz'=— J (A 



Bz'+ ...)dz' 



ou 



w — w^ = — As 



2 



On en conclut que le point w^ est un pôle du premier ordre 

 pour^. C'est un pôle ou un point ordinaire pour u^ suivant que le 

 point analytique est un pôle ou un point ordinaire pour u. 



Nous pouvons donc énoncer le théorème suivant : 



Les coordonnées d'un point quelconque d'une courbe algé- 

 brique du premier genre peuvent être représentées par des 

 fonctions uniformes doublement périodiques d'un paramètre, 

 n^ admettant que des discontinuités polaires à distance finie. 

 {Ce paramètre est précisément l'intégrale de première espèce 

 attachée à la courbe.) 



204. La proposition réciproque est bien connue. Nous l'énon- 

 cerons ainsi : Entre deux fonctions uniformes doublement pé- 

 riodiques, aux mêmes périodes, n'ayant que des discontinuités 

 polaires, il existe une relation algébrique (qui est, en général, 

 du premier genre, mais qui peut être de genre zéro). 



Rappelons en quelques mots la première partie de la démon- 

 stration ('). Soient u^ =f ((p), U2=f2{iv) deux fonctions dou- 

 blement périodiques aux mêmes périodes w, w'. A une valeur de 

 l'une d'elles, u^ par exemple, ne correspondent qu'un nombre fini 

 de valeurs pour w^ abstraction faite de multiples de périodes, et 

 par suite qu'un nombre fini de valeurs pour U2. Si l'on cherche 

 ensuite la nature des discontinuités de «2, considérée comme fonc- 

 tion de Ui, on trouve, en examinant tous les cas possibles, que les 

 seuls points singuliers sont des pôles ou des points critiques algé- 

 briques. Cet examen est analogue à ceux que nous avons déjà 



(') Nous supposons connues ici les propriétés fondamentales des fonctions 

 doublement périodiques. 



