LE PROBLÈME DE l'iNVERSION. 44? 



faits plusieurs fois et, pour abréger, nous ne le reproduirons pas. 

 On en conclut (§ 84) que w, et u-i sont liées par une relation 

 algébrique 



(8) F(?«,,«2) = o. 



La relation (8) est évidemment du genre un, si à un point ana- 

 lytique (w,, ^^2) ne correspond qu'un point à l'intérieur d'un pa- 

 rallélogramme élémentaire, car la surface de Riemann T et la sur- 

 face du parallélogramme ou, si Ton aime mieux, la surface fermée 

 obtenue en joignant les bords opposés de ce parallélogramme, se 

 correspondent point par point d'une façon univoque, et, par con- 

 séquent, sont du même genre. On peut aussi le faire voir en re- 

 prenant une démonstration tout à fait pareille à celle qui a été 

 employée pour démontrer la conservation du genre dans toute 

 transformation birationnelle (§ 122). 



Si à un point analytique (?/(, Wo) correspondent plusieurs 

 points à l'intérieur d'un parallélogramme, la démonstration ne 

 s'applique plus. La relation (8) peut être de genre zéro ou un, 

 mais non de genre supérieur à un. Il suffit de faire voir que, si les 

 coordonnées d'un point d'une courbe F(c, il)=i Ç) sont des fonc- 

 tions uniformes doublement périodiques d'un paramètre, n'ayant 

 que des discontinuités polaires, il ne peut y avoir plus d'une inté- 

 grale de première espèce attachée à la courbe. Soit, en effet. U 

 une intégrale de première espèce attachée à la courbe considérée ; 

 quand on exprime z et u au moyen du paramètre (P, U devient une 

 fonction ^(.(v) de w qui est régulière pour toutes les valeurs 

 finies de cette variable {^)] il en est de même de sa dérivée 0'((v). 

 Or, lorsque w décrit un contour fermé, le point (^, u) décrit aussi 

 un contour fermé et ^{w) augmente d'une période ; <ï>'((p) est donc 

 une fonction uniforme de w\ lorsque (V^ augmente de co ou de co', 

 le point (.3, u) décrit encore un contour fermé, et $((r) aug- 

 menie d'une période; la dérivée ^'((v) est donc doublement pério- 

 dique, et, comme elle est régulière pour toute valeur finie de tr, 

 c'est une constante et la fonction <I>((v) se réduit, à une constante 



(') Il suffit de remarquer que, si (a, |î) est un point de ramification d'ordre r 

 correspondant à Ja valeur w^ de w, z' = {z — o^y est régulière au point iv^. 



