448 CHAPITRE X. 



près, à Cw. 11 suit de là qu'il ne peut exister sur la surface T deux 

 intégrales distinctes de première espèce. 



Les fonctions doublement périodiques À, ik fournissent un 

 exemple bien simple de fonctions doublement périodiques liées 

 par une relation de genre zéro 



Conformément à la démonstration précédente, à un système de 

 valeurs pour ces fonctions correspondent deux points à l'intérieur 

 d'un parallélogramme élémentaire (^). 



Il est toujours aisé de choisir deux fonctions doublement pé- 

 riodiques Ui et Uo, aux mêmes périodes, telles qu'à un point ana- 

 lytique (u\, Uo) ne corresponde qu'un point à l'intérieur d'un 

 parallélogramme élémentaire. Il suffît, par exemple, de prendre 

 deux fonctions ayant un seul infini commun du premier ordre, {Vq. 

 La courbe F (^Ui, u^) ^= o possède alors une seule asymptote non 

 parallèle aux axes, et à ce point à l'infini de la courbe ne corres- 

 pondent que les points pPq + '" ^ + '^^'• 



205. L'étude des fonctions uniformes sur une surface de Rie- 

 mann du premier genre revient donc à l'étude des fonctions uni- 

 formes doublement périodiques et inversement. 



Résumons en quelques mots la correspondance qui vient d'être 

 établie. Soient 



(9) F{z,u) = o 



une relation algébrique de genre un, cj et to' les périodes de l'inté- 

 grale de première espèce iv. A toute valeur finie (Vq de (^ corres- 

 pond un seul point (a, ^) de la surface T. Si ce point (a, p) n'est 

 pas un point de ramification, on a, dans le domaine du point iVo, 



5 — a = A((P — tVo)-h B((ï' — (Vo)2 + . . ., - A 7^ o 



si le point (a, P) est à distance finie, et 



- = A( (^ — (^o) -+- B((p — (^o)^ -+- • • • 



(') BriiOT et Bouquet, Théorie des fonctions elliptiques, p. 35i et suivantes. 



