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LE PROBLÈME DE L INVERSION. 449 



si ce point (a, ^) est à l'infini. Lorsque le point (a, ^) est un point 

 de ramification d'ordre r — i, on a 



z' — A(tp — wq)-^ B(tp — w^y- -h . . ., A 7^ G, 



où l'on a posé ^ = a H- d^ si le point (a, ^) est à distance finie et 



^ = -r- si ce point analytique est à l'infini. 



De là se déduisent quelques conséquences immédiates. Etant 

 donnée une fonction du point analytique (:;, w), $ (^, w), si l'on j 

 remplace z et u par leurs expressions au moyen du paramètre 

 w, ^(^, it) devient une fonction de la variable çv,^(a'). Si <^(^, ii) 

 est régulière au point (a, |j), ^'((p) est régulière au point (Vq ; si 

 (a, j^) est un zéro de <ï>(^, li)^ w^ est un zéro du même ordre de 

 ^'((v). Lorsque (a, [3) est un pôle ou un point singulier essentiel 

 pour <ï>(^j iL)^ Wç^ est un pôle du même ordre ou un point singulier 

 essentiel pour ^'(fv). De même, un point critique logarithmique sur 

 la surface T se change en un point critique logarithmique sur le plan 

 des w. Par suite, toute fonction rationnelle de z et de u se change 

 en une fonction uniforme doublement périodique à discontinuités 

 polaires. Inversement, toutes les fonctions uniformes doublement 

 périodiques à discontinuités polaires sont des fonctions ration- 

 nelles de deux d'entre elles, convenablement choisies. 



Toute intégrale abélienne I sur la surface T admet des périodes 

 cycliques et des périodes polaires. Lorsque le point (^, ii) décrit 

 un cycle, w augmente de mw + zico'; par suite l'intégrale abé- 

 lienne I se change en une fonction J (w) qui vérifie deux rela- 

 tions de la forme 



J(tv -H w) = J(w) -t- K, 



J(«, + a)')=J((v)-hK'. 



Si l'intégrale I n'admet pas de périodes polaires, J((v) est une 

 fonction uniforme de w. Si I admet des points critiques logarith- 

 miques, il en sera de même de J(«^). Mais, dans tous les cas, 

 J'((v) est une fonction uniforme doublement périodique n'ayant 

 que des discontinuités polaires. Les intégrales abéliennes relatives 

 à une surface de genre un se changent donc en des intégrales de 

 fonctions uniformes doublement périodiques à discontinuités po- 

 laires. Par exemple, l'intégrale normale de seconde espèce avec 

 un pôle simple (a, P) se change en une fonction uniforme admet- 

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