450 CHAPITRE X. 



tant un seul pôle simple à l'intérieur d'un parallélogramme élé- 

 mentaire et vérifiant les deux relations 



(.10) 



Z(pp + w) = Z(«^), Z(^p-h w') = Z((v)-i-G. 



Ce qui précède explique l'analogie parfaite qui existe entre les 

 propriétés des fonctions rationnelles d'un point analytique sur 

 une surface de Riemann du premier genre et les propriétés des 

 fonctions uniformes doublement périodiques d'une variable. On a 

 rappelé ci-dessous les plus importantes : 



Sur une surface de Riemann 

 du premier genre. 



la- Toute fonction rationnelle du 

 point analytique (z, u), qui est 

 régulière en tout point de la sur- 

 face, est une constante. 



lia. Il n'existe pas de fonction ra- 

 tionnelle R(^, u) admettant un 

 seul pôle du premier ordre. 



III^. Le nombre des zéros d'une 

 fonction rationnelle R(^, u) est 

 égal au nombre des pôles, cha- 

 cun d'eux étant compté avec son 

 degré de multiplicité. 



IVa- La somme des résidus d'une 

 fonction rationnelle R(^, u) sur 

 toute la surface est égale à zéro. 



Va. La somme des valeurs de l'in- 

 tégrale de première espèce pour 

 les zéros d'une fonction rationnelle 

 R(^, u) ne diffère de la somme 

 des valeurs de la même intégrale 

 pour les infinis de R(^, u) que 

 d'une somme de multiples des 

 périodes. 



Sur un plan indéfini. 



Ib. Toute fonction uniforme dou- 

 blement périodique d'une variable 

 i^p, régulière pour toute valeur 

 finie de la variable, est une con- 

 stante. 



II*. Il n'existe pas de fonction dou- 

 blement périodique admettant un 

 seul pôle simple à l'intérieur d'un 

 parallélogramme élémentaire. 



III^. Le nombre des zéros d'une 

 fonction doublement périodique à 

 l'intérieur d'un parallélogramme 

 élémentaire est égal au nombre 

 des pôles , chacun d'eux étant 

 compté avec son degré de multi- 

 plicité. 



ly b- La somme des résidus d'une 

 fonction doublement périodique à 

 l'intérieur d'un parallélogramme 

 élémentaire est nulle. 



y b' La somme des zéros d'une fonc- 

 tion doublement périodique et la 

 somme des infinis contenus dans 

 un même parallélogramme élé- 

 mentaire ne diffèrent que par une 

 somme de multiples des périodes. 



