LE PROBLÈME D E l' IN VE R S I OX. 4^1 



Les propositions mises en regard se déduisent l'une de l'autre 

 par la transformation que nous étudions, sauf les propositions 

 l\a et IVô. En effet, si un point de ramification (a, ^) d'ordre r—i 

 est un pôle pour ^{z, u), le résidu relatif à ce pôle est égal à 

 /• fois le coefficient de ^-^ dans le développement, tandis que le 

 coefficient de — ^- — - dans W{w) provient du terme en — 





dans $(c, u). Le théorème IV^ correspond au théorème suivant : 

 La somme des résidus du produit ^{z, u) -^ sur toute la sur- 

 face T est nulle. En effet, remarquons que cette somme est égale, 

 au facteur 21^/ près, à l'intégrale 



prise le long du contour total de ï', et cette intégrale est elle- 

 même égale à l'intégrale 



/• 



prise le long du contour d'un parallélogramme élémentaire; cette 

 dernière intégrale est à son tour égale au produit de irù parla 

 somme des résidus de ^{w) dans ce parallélogramme : ce qui 

 donne la proposition \S i- 



Le théorème IV^ transformé donnerait celui-ci : La somme des 



résidus duproduit W{w) -r- dans un parallélogramme élémen- 

 taire est nulle; proposition qui, au fond, ne diffère pas de la pro- 

 position \S hi puisque -v^ est aussi une fonction doublement pério- 

 dique. 



Le théorème V^ est connu sous le nom de théorème de Liou- 

 villej on voit que c'est une simple conséquence du théorème gé- 

 néral d'Abel. Du reste, la démonstration peut se faire de la même 

 façon; si l'on considère en effet l'intégrale 



/' 



prise le long du contour total du parallélogramme élémentaire, 



