452 CHAPITRE X. 



on en déduit sans peine la relation entre les zéros et les infinis 

 de W(w). Or, c'est précisément le procédé qui nous a servi 

 pour établir le théorème d'Abel dans le cas le plus général. 



On pourrait de même se proposer de déduire de toutes les 

 propriétés que nous avons obtenues pour les fonctions ration- 

 nelles d'un point analytique (z, u) et leurs intégrales les proprié- 

 tés correspondantes des fonctions doublement périodiques et de 

 leurs intégrales. Mais il est à remarquer que Ton n'obtient ainsi 

 rien d'essentiellement nouveau, ni quant aux résultats (dont les plus 

 importants sont antérieurs aux recherches de Riemann), ni quant 

 aux méthodes de démonstration. En effet, le procédé qui nous a 

 servi constamment consiste à évaluer de deux façons une certaine 

 intégrale prise le long du contour total de T'. Si, dans le cas de 

 p = i, on passe de la surface de Riemann au plan des w, l'inté- 

 grale prise le long du contour total de T' devient une nouvelle 

 intégrale prise le long du contour du parallélogramme élémen- 

 taire. Or la considération de pareilles intégrales convenablement 

 choisies constitue précisément un des moyens les plus simples 

 d'établir les propriétés fondamentales des fonctions doublement 

 périodiques et de leurs intégrales. 



Nous nous bornerons à ces indications, notre but n'étant pas 

 d'écrire un traité des fonctions doublement périodiques. 



206. Dans leurs célèbres recherches sur les équations différen- 

 tielles, Rriot et Bouquet s'étaient posé la question suivante : 



Etant donnée une équation différentielle du premier ordre 



oit F est un polynôme entier en u ^t -r- ^ reconnaître si cette 

 équation admet une intégrale uniforme. 



Ce problème n'est au fond qu'un cas particulier de celui qui 



du 

 dz 



vient d'être traité. Posons, en effet, U = -7-; la relation (it) 



devient 



(12) F(^.,U) = o, 



