LE PROBLÈME DE l'iNVERSION. 453 



et l'on a 



, du 



d'où 



/du 



Si u est une fonction uniforme de z^ il en est de même de 



U = -T-5 et l'on voit que les coordonnées d'un point de la 

 ciz ^ ^ 



courbe (12) sont des fonctions uniformes de l'intégrale abé- 



lienne z^ /Tf attachée à celte courbe. Inversement, si u et U 



sont des fonctions uniformes de l'intégrale abélienne Zy on a 



— =U, et la fonction uniforme u de z vérifie bien l'équation 



proposée (i i). 



Donc, pour que V équation (i i) admette une intégrale uni- 

 forme, le genre de la relation F(z^,U) = o doit être égal à 

 zéro ou à un; si le genre de cette relation est égal à zéro, 



V intégrale abélienne j -p- doit être une intégrale de seconde 



espèce avec un seul pôle du premier ordre, ou une intégrale 

 de troisième espèce avec deux points critiques logarithmiques ; 



si le genre de la relation est égal à un, V intégrale / -rj doit 

 être de première espèce. 



Suivant les trois cas qui peuvent se présenter, l'intégrale de 

 l'équation (i i) est une fonction rationnelle de^, ou une fonction 

 rationnelle de e^^., ou une fonction doublement périodique, n'ad- 

 mettant que des discontinuités polaires. On vérifiera facilement 

 que les conditions précédentes ne diffèrent que par la forme de 

 celles qui ont été obtenues par Briot et Bouquet. 



207. Lorsqu'on se trouve dans l'un des cas où l'intégrale est 

 uniforme, on peut effectuer l'intégration au moyen d'une mé- 

 thode très simple, qui a été donnée par M. Hermite dans son 

 cours de l'Ecole Polytechnique, en i8^3. Supposons que la 

 courbe représentée par l'équation (12) soit du genre zéro; alors 



on peut exprimer u et -r- en fonctions rationnelles d'un para- 



