458 CHAPITRE X. 



don, s'il existe une relation algébrique entre /(^), f{t) et 

 J'(^z + t)^ quelles que soient les valeurs de z et de t. Soit 



(28) ^m^)J{t)J{z + t)-\ = o 



cette relation, § désignant un polynôme entier en /(^), /(O? 

 f{z-\-t). Posons, pour simplifier, uz=f(z)^ ç=f(t). w^=f(z-\-t); 

 en différentiant l'équation (28) par rapport à ^ et par rapport à t 

 successivement, il vient 



f (z)- — h -r- f (z + n = o, 

 En éliminant f \z + t) entre ces deux relations, on trouve 



(.9) 2/'(^)-|?/'w = °' 



enfin, si l'on élimine f{z + t) entre les équations (28) et (29), on 

 obtient une nouvelle relation algébrique 



(3o) *[/(^),/(^),/(0,/(0]-o. 



Attribuons à t une valeur fixe quelconque f ; on voit qu'il existe 

 une relation algébrique entre /(^) et /'(^). Donc (n« 206), les 

 seules fonctions uniformes qui puissent admettre un théorème 

 d'addition sont : i'' les fonctions rationnelles de z; 2° les 

 fonctions rationnelles de e«^; 3° les fonctions doublement pé- 

 riodiques de z, n'admettant que des discontinuités polaires à 

 distance finie. 



Nous n'insisterons pas sur la démonstration de la proposition 

 réciproque, qui est bien connue. 



210. Le problème résolu au début de ce Chapitre peut être 

 généralisé de différentes façons. Considérons encore une intégrale 

 abélienne 



' R(^, u) dz, 



attachée à une courbe algébrique du genre />, 



(3i) F{z,u) = o. 



