LE PROBLÈME DE l' INVERSION. 459 



Si Ton ne se trouve pas dans l'un des trois cas qui viennent d'être 

 examinés, à une valeur de l'intégrale iv correspondent plusieurs 

 points analvtiques (z, u) sur la surface de Riemann. Nous allons 

 rechercher quelle doit être la nature de l'intégrale (v pour qu'à 

 une valeur quelconque de cette intégrale ne correspondent qu'un 

 nombre Jl ni de points analytiques qui donnent la même valeur à 

 l'intégrale (tp; il est clair que, si l'on se donne un de ces r points 

 (^, w), les /• — I autres points (^, , w, ), (^o? ''2)7 • • • ? (^r-n ^'r-i ) 

 sont déterminés par la même. Donc, toute fonction symétrique 

 des coordonnées de ces /• — i points est une fonction uni/orme 

 du point analytique (Zj u). Si l'on prend, en particulier, une 

 fonction rationnelle et symétrique de ces coordonnées, on voit 

 aisément que, considérée comme fonction de (^, «), elle ne peut 

 admettre que des discontinuités polaires; c'est donc une fonc- 

 tion rationnelle de z et de u. Cela posé, soit cp(^, a) une fonc- 

 tion rationnelle quelconque; la somme 



^{Z, u) = cp(^, u)-i- o(Zi, Ui)+. ..-h 0(Z,.-1, Ur-i) 



est encore une fonction rationnelle et il est clair, d'après la forme 

 du second membre, que celte fonction rationnelle reprend la 

 même valeur en tous les points d'un même groupe. Soit 'b{z^ u) 

 une autre fonction rationnelle et 



W{Z, u) = '\>{Z, u)^^{Zi, Ui)-\-...-h'i>{Zr-i, Ur-l) 



la fonction correspondante. Si l'on pose 



Z = *(^, w), U = '¥{z,u), 



le point de coordonnées (Z, U ) décrit une courbe auxiliaire C|, 

 qui est une transformée simplement rationnelle de C. Si à un 

 point (Z, U) correspond un point (z^u)^ il est clair qu'au même 

 point (Z, U) correspondent tous les points de G qui appartiennent 

 au même groupe que (z, u). Je dis qu'on peut choisir les fonc- 

 tions cp et ^ de telle façon qu'à un point (Z,U) ne correspondent 

 que les points d'un même groupe sur G. En effet, prenons pour 

 (s{z^u) une fonction rationnelle admettant v pôles simples 

 (a,, 3,), ..., (av, pv) appartenant à des groupes différents ^,, 

 g2, . . . , ^v et pour à{z, u) une fonction admettante pôles simples 



