46o CHAPITRE X. 



(a<, j3<), (a^, jB'^), . . . , (a'p, ^p) appartenant à des groupes diffé- 

 rents .^^, ^;, ..., g'^^ les groupes g., . . . , ^v, g'.,, ••-,/? étant 

 tous différents. Les fonctions ^{z^ u) et ^(^, m) deviendront si- 

 multanément infinies pour les points du groupe ^i et pour ceux-là 

 seulement. La courbe auxiliaire G< a donc un point à l'infini 

 auquel ne correspondent, sur la courbe G, que les points du 

 groupe g^. A un point de Ci voisin de ce point à l'infini ne peut 

 correspondre qu'un groupe de points sur G, voisin de g^. S'il en 

 était autrement, à une valeur très grande de Z devraient corres- 

 pondre plusieurs points voisins de (ai, p< ), ce qui n'a pas lieu 

 puisque ce point est un pôle simple de ^(s, u). 

 Soit 



(32) #(Z,U)=:0 



l'équation de la courbe auxiliaire G,. A. un point (Z, U) de cette 

 courbe correspondent r points de la première courbe, en chacun 

 desquels l'intégrale w reprend la même valeur, à des multiples 



près des périodes; donc -^^ est une fonction uniforme du point 



analytique (Z, U). D'ailleurs, il est clair que cette dérivée est une 

 fonction algébrique de Z; par conséquent, w est égale à une inté- 

 grale abélienne attachée à la courbe auxiliaire (Sa). A une valeur 

 de cette intégrale w correspondent r points de la courbe primitive 

 (3i) et un seul point de la courbe auxiliaire Gi ; nous sommes 

 donc ramenés au problème primitif. A chaque solution de ce pre- 

 mier problème correspond une solution du problème généralisé. 



Si la courbe (32) est du genre zéro, l'intégrale w peut être de 

 seconde ou de troisième espèce; dans le premier cas, w est une 

 fonction rationnelle de (Z, U) et, dans le second cas, w est égale 

 au produit d'une constante par le logarithme d'une fonction ra- 

 tionnelle de (Z, U). Si l'on revient à la courbe primitive, on voit 

 que w est égale à une fonction rationnelle de z et de u^ ou au 

 logarithme d'une pareille fonction, multiplié par une constante. 



Lorsque la courbe auxiliaire Gi est du genre un, l'intégrale w 

 est de première espèce et a deux périodes, nécessairement dis- 

 tinctes (n^ 70). Après la transformation rationnelle qui conduit 

 de la courbe Gi à la courbe donnée (3i), w se change en une inté- 

 grale de première espèce relative à cette courbe, dont toutes les 



