LE PROBLÈME DE l'iNVERSION. 46i 



périodes se réduisent à deux. En résumé, si à une valeur de 

 V intégrale ahélienne w ne correspondent qu'uîi nombre fini 

 de points de la courbe F(^, «) = o, il peut se présenter trois 

 cas : 1° w est une fonction rationnelle de z et de w^ 2° w est 

 égale au produit d'une constante par le logarithme dune 

 fonction rationnelle de z et de u; 3^ w est une intégrale de 

 première espèce, dont toutes les périodes se réduisent à deux 

 périodes distinctes. 



On a vu plus haut (n° 158) les conditions nécessaires et suffi- 

 santes pour qu'une intégrale abélienne tvse réduise à une fonction 

 rationnelle. Il est plus difficile d'obtenir des conditions suffisantes 

 pour que l'intégrale appartienne à une des deux autres catégo- 

 ries (n"^ 161-166). Remarquons que chacune de ces trois espèces 

 d'intégrales fournit bien une solution du problème proposé. Ainsi, 

 dans les deux premiers cas, on a 



w = 'f{z, u) 



ou 



'^(^, u) étant une fonction rationnelle de z et de u; les points ana- 

 lytiques (zj u) qui correspondent à une valeur de w sont fournis 

 par la résolution des deux équations 



F(z, u) = o, o{z, u) = w 

 OU 



w 



F{z, u) = o, o{z, u) = e^ . 



Lorsque w est une intégrale de première espèce n'admettant 

 que deux périodes w, w', le rapport — est nécessairement imagi- 

 naire (n° 166). Soit )v((v) une fonction uniforme doublement pé- 

 riodique, aux périodes co, co', n'ayant que des discontinuités po- 

 laires à distance finie ; si l'on remplace w par l'intégrale précédente, 

 'k(w) devient une fonction rationnelle cp(^, u) de z et de u. Les 

 coordonnées des points (z^ u) qui correspondent à une valeur de iv 

 s'obtiennent par la résolution des équations simultanées 



F(j, a) = o, o{z,u)=l(w). 



