462 CHAPITRE X. 



211. Etant donnée une équation différentielle algébrique du 

 premier ordre 



, du 



pour que cette équation admette une intégrale qui ne prenne 

 qu'un nombre yZ/ii de valeurs pour chaque valeur de z, il faut et 

 il suffît, d'après cela, que l'intégrale abélienne 



^=f^^ où F(w,U) 



appartienne à une des trois catégories précédentes; nous n'avons 

 qu'à répéter le raisonnement du n° 206. 



Par conséquent, si Vintégj^ale d^une équation de la forme 



F( î/, -p ) = o, oii F est un polynôme entier en u et -j^^ n^ ad- 

 met qu'un nombre limité de valeurs pour chaque valeur de z^ 

 cette intégrale est racine dune équation algébrique entière 

 en u^ dont les coefficients sont, soit des fonctions rationnelles 

 de z, soit des fonctions rationnelles de e"^, soit des fonctions 

 uniformes doublement périodiques, aux mêmes périodes, 

 n'ayant que des discontinuités polaires à distance finie ('). 



212. Quand on ne se trouve pas dans l'un des cas qui viennent 

 d'être examinés, l'inversion d'une intégrale abélienne conduit à 

 des fonctions qui admettent une infinité de valeurs pour chaque 

 valeur de la variable. Par exemple, la fonction inverse de l'inté- 

 grale elliptique de seconde espèce ou, ce qui revient au même, 

 une intégrale de l'équation différentielle 



dz ) ~ u'* 



admet une infinité de valeurs pour chaque valeur de z {^). Dans 

 son célèbre Mémoire sur les fonctions quadruplement périodiques 

 de deux variables (Journal de C relie, t. J3), Jacobi a posé 



(') Briot et Bouquet, Journal de l'École Polytechnique, 36® Cahier. 

 (^) On pourra consulter sur ce sujet deux Mémoires de M. Casorati {Acta ma- 

 thematîca, t. VIII, p. 345-38G). 



