LE PROBLÈME DE l'iNYERSION. 463 



d'une autre façon le problème de l'inversion pour les intégrales 

 hyperellipliques de genre 2. L'énoncé a été ensuite étendu aux 

 intégrales abéliennes relatives à une courbe quelconque de genre 

 /?•, le problème ainsi généralisé est appelé le problème de Vin- 

 version de Jacobi. On peut le formuler de la manière suivante : 

 Soient (V,, w.2, • . ., ^Vp les p intégrales distinctes de première 

 espèce attachées à une courbe de genre/?; nous supposerons qu'on 

 a pris une même limite inférieure (^05 ''0) pour toutes ces inté- 

 grales. Les/? équations 



( -0, "0 ) •- ( -0, "0 ) 



(33) \ 



I «?«'.2+ / dw2-\-...-{- j dWi = Vo, 



(Zo.//oi dizn.iia^ d(z„,Un) 



.(=i,"i) 



f dwp-{- j dwp-^. . .-^ j 



(Zo,Uo) ^(-0>"o) d{Zo,Uo) 



dwp= Vjj, 



où les intégrales qui ont même limite supérieure sont supposées 

 prises suivant le même chemin, déterminent les p points analy- 

 tiques (^,, w,), {zo, 11-2), •••) i^'p, Up) en fonction des/? variables 

 t'o ^'2? •••) ^>- C'est la détermination effective de ces p limites 

 supérieures au moyen de r,, Co, .. ., Vp qui constitue le problème 

 de Jacobi. La solution a d'abord été obtenue pour les intégrales 

 ultra-elliptiques de genre 2 par Gopel ('), et par Rosenhain dans 

 son Mémoire couronné (-). M. Weierstrass (^) a ensuite étendu 

 la solution aux intégrales hyperellipliques de genre quelconque. 

 Enfin Riemann et M. Weierstrass ont obtenu simultanément la 

 solution du problème dans toute sa généralité au moyen des fonc- 

 tions de /? variables. L'étendue de cet Ouvrage ne nous permet 

 pas de l'exposer ici; nous nous bornerons à montrer comment, à 

 un système de valeurs de v^^ t^o, ..., Vp, il ne correspond, en 



(•) Gopel, Theoriœ transcendentium Abelianarum primi ordinis adiim- 

 bratio levis {Journal de Ci'elle, t. 35, 1847). 



(^) Rosenhain, Mémoire sur les fonctions de deux variables et à quatre pé- 

 riodes qui sont les inverses des intégrales ultra-elliptiques de la première 

 classe {Mémoires des savants étrangers, t. XI, p. 36i-46S). 



(^) Weierstrass^ Zur théorie der Abel'schen Functionen {Journal de Crelle, 

 t. 47, p. 289-806; t. 52, p. 285-38o). 



