464 CHAPITRE X. 



général, qu'un seul système de points analytiques (^,, î/,), ..., 



(-/>, Up)' 



Remarquons que les équations (33) peuvent être remplacées 

 par un système d'équations aux différentielles totales du premier 

 ordre : 



icpi (^1, Ui)dz^-^. . .+ cpi {zp, Up)dzp= dvi, 

 cp2(si, ?<i)<isi-f-...+ cp2(^p, Up)dzp= dv^, 

 <P/,(2i, Ui)dz^-\-...^(!^p{zp, Up)dzp^ dvp, 

 OÙ l'on a posé 



-X 



<:^i{z,u)dz, i=i,i, 



(-o."o) 



Si l'on applique à ce système d'équations différentielles les 

 théorèmes généraux, on reconnaît qu'à l'exception de certains 

 systèmes de valeurs de Pi, ^2? • • •> ^p-, pour lesquels il y a indéter- 

 mination, à des valeurs de Pi, ^2? •••) ^p ne correspond qu'un 

 seul système de points analytiques (^). Ce résultat peut aussi se 

 déduire du théorème d'Abel. 



Supposons, en effet, qu'à un système de valeurs pour t'< , (^05 •••, 

 Vp^ il corresponde deux systèmes de points analytiques (^i, u^)^ 

 . . .j (zp^ Up) el {z\, u\) , .. ., (z'^^ w^). Les équations (33) nous 

 donnent 



p p 



2 ^^(^à, Uh) = ^ «^i(4, u',,), i= I, 2, 



Ce sont les conditions nécessaires et suffisantes pour qu'il existe 

 une fonction rationnelle (p (^, u) admettant pour pôles du premier 

 ordre les/? points (^,, ?/<), . . ., (^^, Up) et pour zéros les/? points 

 {z\y u\), . . ., (^^, u'p) (n° 179). Cette fonction, ne devenant infinie 

 du premier ordre qu'en p points seulement, est une fonction spé- 

 ciale, et l'on peut faire passer par ces p pôles une courbe adjointe 

 d'ordre m — 3 (n° 170). Cette courbe adjointe rencontre en 

 outre la courbe proposée en p — 2 points simples (a,, j3i), . . ., 



(*) Foi> Briot, Théorie des fonctions abéliennes (Chap. IX). Le raisonnement 

 est soumis aux mêmes objections que pour /> = i. 



