LE PROBLÈME DE l'iNVERSFON. 4^5 



(a^_2, (3^-2) et l'on voit que (^,, r^. •.., t> doivent être de la forme 



(35) Pi=^ 2K1— V tvi(ay,, P/0, ..., Vp= iKp— 2^ ii'pjvi, ^h), 



2K/ désignant la somme constante des valeurs de l'intégrale w^ 

 aux 2p — 2 points d'intersection variables de la courbe pro- 

 posée avec une courbe adjointe de degré 77i — 3. Par consé- 

 quent, si les valeurs de r,, To, . . . , (-'^ ne sont pas de la forme 

 (35), il ne peut j avoir plus d'un système de points analytiques 

 vérifiant les équations (33). Mais si ('<, ç^y • - • ■, ^p sont de la 

 forme (35), il j a une infinité de systèmes de p points analyti- 

 ques répondant à la question. En effet, si l'on fait passer par les 

 p — 2 points (y./i, ^/i) une courbe adjointe d'ordre m — 3, elle 

 rencontre la courbe proposée en p autres points distincts des 

 points multiples qui, d'après le théorème d'Abel, satisfont bien 

 aux équations (33). En résumé, lorsqu'on fait décrire aux va- 

 riables indépendantes ç'i, (^2? •••) ^p des contours fermés dans 

 leurs plans respectifs, les p points analytiques (^, , u^), . . . , (Zp, Up) 

 ne peuvent que s'échanger entre eux, sauf pour des systèmes de 

 la forme (35) où il y a indétermination. Toute fonction ration- 

 nelle et symétrique des coordonnées de ces p points est une fonc- 

 lion uniforme des p variables indépendantes v^^ i^o, ..., Vp^ 

 devenant indéterminée pour les valeurs de la forme (35). C'est 

 une fonction abélienne ; elle s'exprime au moyen des fonctions 

 àe p variables, où les arguments sont précisément (-'4, v^i • • • , ^p- 

 Si l'on fait décrire à un des points (^/, ut) un cycle sur la surface 

 de Riemann, ^j, t^o? • - -i ^p augmentent d'une période; on voit 

 donc que les fonctions abéliennes sont des fonctions de p 

 variables, admettant ip systèmes de périodes simultanées. 



213. Le problème d'inversion de Jacobi a été étendu par diffé- 

 rents géomètres au cas où l'on ajoute, aux p intégrales de pre- 

 mière espèce, un certain nombre d'intégrales abéliennes pré 

 sentant des points de discontinuité sur la surface de Riemann (* ). 



(•) On trouve déjà des exemples dans le Mémoire de Rosenhain (Savants 

 étrangers, t. XI). Voir aussi Clebsch {Journal de Crelle, t. 64); Clebsch et 

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