^66 CHAPITRE X. 



Supposons, pour fixer les idées, que l'on prenne, avec [es p inté- 

 grales de première espèce (v, , w., . . . , Wp^ q intégrales de seconde 

 espèce avec un seul pôle du premier ordre, Ç(^, i^^ a,, p<),. . ., 

 Ç(s, w; a^, !^^), et r intégrales de troisième espèce m^i'.%..., 

 TîîT^'^'°'', quelques-uns des points (a/i, ^a) pouvant aussi être des 

 points critiques pour quelques-unes des intégrales de troisième 

 espèce. La méthode que nous allons suivre s'applique d'ailleurs au 

 cas général. Considérons les n ^= p -\- q -\- r équations 



(36) Wi{ZuUx)^Wi{z^^,m})^...^Wi{Zn,Un) = Vi, {1 = 1, '1. ...,/?). 



(37) J;(-Si, Mi;a/i, P/0+..-+ Ki^n, Un] '^/n i^/j ^ ^h, {h=i,2....,q)., 



(38) r^X^z,,u,)+...-^r^^fi{zn,u^.) = ^l. {k = i, 9^. . . . , r), 



OÙ l'on suppose que l'on prend la même limite inférieure (^o, lio) 

 pour toutes les intégrales, et où les intégrales qui ont la même 

 limite supérieure sont prises suivant le même chemin. Si l'on re- 

 garde dans ces équations ^i, th, txa comme des variables indépen- 

 dantes, elles définissent, en fonction de ces n variables, les // 

 points analytiques (5^, u^), ..., (^,., Un)- Nous allons montrer 

 qu'à un système de valeurs arbitrairement choisi pour les va- 

 riables Vi^ th, '^k, il ne correspond en général qu'un seul 

 système de points analytiques (s,, u^), . . ., {zn, Un). 



Prenons sur la surface de Riemann n + p points (^,, r,,), . . . , 

 {\n+pi fin+p)^ absolument quelconques. La fonction rationnelle la 

 plus générale du point analytique {z, u), qui devient infinie du 

 premier ordre en ces n -{-p points seulement, dépend de /? -h i 

 constantes arbitraires, si ces points n'ont pas été choisis d'une 

 façon particulière, comme nous le supposons (n° 169). Soit 



*(^, u) 



F{z,u) 



*i(2, w) 



l'expression générale de cette fonction^ ^i{z,u) est un poly- 

 nôme parfaitement déterminé, tandis que <I>(^, u) est une fonc- 

 tion linéaire et homogène de /i + i coefficients arbitraires Ao, 



GouDAN {Abelschen Fitnctionen) ; Elliot {Annales de l'École Normale, 2" série, 

 t. XI); Appell {Journal de Mathématiques, ^ série, t. I); Goursat {Comptes 

 rendus, t. XV, p. 787-790; 1892). 



