LE PROBLEME DE L INVERSION. 467 



A,, . . ., A,;. Cette fonction F(::, u) admet n -\~ p zéros variables 

 avec Ao, A, , . . . , A„; nous allons chercher à déterminer les coef- 

 ficients ki en fonction des quantités r/, th^ ~a, de façon que n de 

 ces zéros soient précisément les n points analytiques (^zi^ ui) dé- 

 finis par les équations (36), (37) et (38). Le problème étant sup- 

 posé résolu, désignons par {z\^ u\), . . . , {z^^ u^) les p zéros res- 

 tants de F (5, u). D'après le théorème d'Abel, on a 



Wi{Zi, Ml) -i-. ..— Wi{Zn,Un) -^ Wi{z\,ll\)—. . .~Wi(Zp,u]j) 

 n-hp 



les équations (36) peuvent donc être remplacées par les suivantes 



(39) ^'^i{^'i,ih)—'--—iVi(^'p,ii'p) = Mi—Vi (f = i, 2, . .../?). 



et nous venons de voir qu'à un système de valeurs de ç^, (^o, .... 

 i>p il ne correspond, en général, qu'un seul système de points 

 analytiques {z\^ u\ ), . . . , (^^, 11^). Les p équations 



^{z\,u\)-^o. .... *(4,«p) = o 



sont aussi équivalentes aux p équations 



<4o) (-'iy*(-',,w'i)H-...— (4)'*(4.w;,) r^ G (i = o, 1,2, ...,^— I). 



qui sont encore linéaires par rapport aux coefficients A^, A, , . . . , 

 A„, mais qui, de plus, sont des fonctions symétriques des/? points 

 {z\, u^), . . ., [z'p^ ii'p). On a donc ainsi p équations linéaires et 

 homogènes en Aq, A,, ..., A,,, dont les coefficients sont des 

 fonctions abéliennes de ^1, Co? • • •? ^>- 



Appliquons maintenant le théorème d'xVbel aux intégrales 'C 

 et TH. On a (n° 183, I80) 



= 2 ^^'^■' "'^5 ^'- P^*^- d~z ^«S^^^^^- ?'^)' 



7 = 1 



,^;5;, .„«,)-.. . + <-:(-.«») -<V::(V„«'.)+--.-<2:(.„«;,) 



1=1 



