468 CHAPITRE X. 



Les équations (87) et (38) sont donc équivalentes aux équa- 

 tions 



(40 1 "^' 



n-+-p 



h^i,2, . . .,q, k = 1,1, . ..,r. 



Les q -i- r équations (4i) et (42) sont encore linéaires et ho- 

 mogènes par rapport aux coefficients inconnus Aq, A,, . . ., A„. 

 Les seules quantités qui figurent dans ces équations et qui ne 

 soient pas connues directement sont les suivantes 



QT:y(z\,u\)-i-...-hzy(z'p,ii'p- 



ces quantités sont des fonctions uniformes de t^i, (^27 • • • , ^p- En 

 effet, les/» points {z\, u\), . . . , {z^, u'p) sont définis, en fonction 

 de ç'i, ^^27 • • • ? <^>, parles équations (Sg), et nous savons déjà qu'à 

 un système de valeurs de t^i , (^o, • • • , ^/> ne correspond qu'un seul 

 système de points analytiques {z\, u\), . . ., {z'^, u'p). Par consé- 

 quent, lorsque les variables indépendantes <^\^ ç^^ • • • , ^/7 décri- 

 vent, dans leurs plans respectifs, des chemins fermés quelconques, 

 les p points {z' ^ u') décrivent des chemins fermés ou se permutent 

 entre eux. On peut évidemment supposer que chacun de ces points 

 décrit un chemin fermé, puis que quelques-uns d'entre eux se 

 permutent, sans que les nouveaux chemins décrits franchissent 

 aucune des coupures a, 6, c. Or, après que ces p points auront 

 décrit de pareils chemins, la somme (^^ aura diminué de la quantité 



m< , . . . , m^p étant des nombres entiers, et w^^, , . . . , to^^sp les 2/> 

 périodes de l'intégrale wi] la somme 



