4/0 CHAPITRE XI. 



CHAPITRE XI. 



COURBES NORMALES. MODULES (i). 



Théorème de M. Schwarz. — Transformations birationnelles d'une courbe de 

 genre un en elle-même. — Courbe normale de Clebsch. — Courbe normale de 

 Nôther. — Modules d'une classe de courbes algébriques. — Généralités sur les 

 transformations simplement rationnelles. 



214. Nous allons d'abord compléter, sur un point essentiel, la 

 théorie des transformations birationnelles des courbes algébriques. 

 On a déjà remarqué (n°' 131, 134) que les courbes de genre zéro et 

 Uîi se changent en elles-mêmes par une infinité de transformations 

 birationnelles; ce sont les seules courbes qui jouissent de cette 

 propriété. Nous commencerons par démontrer le théorème sui- 

 vant, dû à M. Schwarz : // ne peut exister de transformation 

 birationnelle, renfermant un paramètre arbitraire, qui change 

 en elle-même une courbe de genre supérieur à un (-). 



Soient, en effet, 



(I) f{z,u) = o 



l'équation d'une courbe algébrique C de genre/? >> i , et 



^' = R (^z, u. t), 



(2) 



u' =^ R'(^, u, t) 



des formules définissant une transformation birationnelle dépen- 

 dant d'un paramètre arbitraire t. Admettons, pour un moment. 



(^) Auteurs à consulter : Riemann, Abel'schen Functionen; Brill et Nother, 

 Mathematische Amialeii, t. VII; — Clebsch et Gordan, Théorie de?^ Abel'schen 

 Functionen j — Klein, Théorie der elliptischen Modul functionen, t. I; — 

 E. Picard, Traité d'Analyse, t. II, p. 436-458. 



(') Schwarz, Journal de Crelle, t. LXXXVII. La démonstration que nous don- 

 nons ici est due à M. Picard. 



