COURBES NORMALES. MODULES. 4/1 



que le point [z', u') décrit la courbe C, lorsque le point (^, u) dé- 

 crit la même courbe, quelle que soit la valeur attribuée au para- 

 mètre t. Considérons p intégrales distinctes de première espèce 

 attachées à la courbe G 



/Q,(z, M)â?s rQ2(z,u)dz r Qp(z, u)dz 



J u *J J u J J u 



puisque, par une transformation birationnelle, toute intégrale de 

 première espèce se change en une nouvelle intégrale de première 



espèce, l'intégrale / ^' " — ^- doit en particulier se changer en 



»/ J u' 



une nouvelle intégrale de la forme 



^ .^^ r q,(z',u')dz' ^ rx, Q,(z,u)-^...^\„Qp{z,u) ^^^ 



J J ui J J it 



A<, . . ., A^ étant des constantes indépendantes de (;, u). Nous 

 allons montrer que ces coefficients ne dépendent pas non plus du 

 paramètre t. En effet, donnons à ce paramètre une valeur fixe ^o> 

 d'ailleurs arbitraire, et faisons décrire au point (^, u) un cycle 

 sur la surface de Riemann ; le point (y, ii!) décrira aussi un cycle. 

 Lorsque le paramètre t prend ensuite une valeur voisine ^o -1- h^ 

 le cycle décrit par (^', ?^') ne diffère qu'infiniment peu du premier 

 et la période reste la même. Soient co,, W2, . . . , to^ les périodes 

 des p intégrales de première espèce correspondant au cycle décrit 

 par le point (^, ii) et co' la période de l'intégrale 



/ 



Q,(c\ u)dz 

 f'w 



correspondant au cycle décrit par le point (5', u') ; on a entre les 

 coefficients A, , Ao, . . . , A^r, la relation 



CO, = Aj Wj — A2 'Oo-r- . . . ~ A-pOJp. 



Faisons maintenant décrire au point (z, u) les p cycles dont 

 chacun franchit une seule coupure a./, on établit ainsi, entre les 

 coefficients A,,A2. . . . , A^, p relations linéaires, dont le déter- 

 minant n'est pas nul, où ne figure pas le paramètre /. Ces coeffi- 

 cients sont donc des constantes indépendantes de t. En prenant 



