472 CHAPITRE XI. 



une nouvelle intégrale de première espèce, on aura de même 



(4) 



r Q.Xz', u)dz' _^ r niQiiz. u)^.. .^Bf,Q,,(z, u) ^^^ 



U J u< J J u 



les coefficients B,, . . . , B^ ne dépendant pas de t. Des équations 

 (3) et (4) on tire 



- Qi(^\ u') _ A^giiz, u) ^ . . . ^ XpQ,,{z, u) 



^ ^ q^iz'^u') ^'' Biqi{z,u) -}-...-+- Bj,qp{z,uy 



relation entre les coordonnées des deux points (^, u) et (^z' , u') qui 

 ne dépend pas de t. Or, une telle relation est impossible ; car, à 

 un point (^, w), l'équation (5), jointe à l'équation /(^', u') = o 

 de la courbe donnée, ne fait correspondre qu'un nombre y?Aii de 

 points (z', u'). Le point (^', u') défini par les formules (2) ne va- 

 rierait donc pas d'une manière continue avec le paramètre ^, con- 

 trairement à riijpothèse. 



215. Le même raisonnement permet de démontrer qu'une 

 courbe de genre supérieur à l'unité ne peut se reproduire par une 

 infinité discontinue de transformations birationnelles, c'est-à-dire 

 ne dépendant pas de paramètres arbitraires. En effet, il résulte du 

 paragraphe précédent que toutes les transformations birationnelles 

 qui reproduisent la courbe G, de genre supérieur à un, sont don- 

 nées par une relation de la forme (5), où l'on attribue aux con- 

 stantes A et B des valeurs convenables. Or, si l'on part d'une rela- 

 tion de cette forme donnée a priori et si l'on cherche les conditions 

 pour qu'elle définisse une transformation birationnelle de la courbe 

 en elle-même, on établit évidemment un certain nombre de reldi- 

 lious algébriques entre les constantes A et B. Ces relations peuvent 

 être incompatibles ou admettre un nomhTe fini de solutions, mais 

 il ne peut pas arriver que quelques-unes de ces constantes restent 

 arbitraires, car la courbe donnée admettrait des transformations 

 birationnelles dépendant d'un paramètre arbitraire, contrairement 

 à ce qui vient d'être démontré. En résumé, une courbe de genre 

 supérieur à un ne peut se changer en elle-même que par un 

 nombre fini de transformations birationnelles. 



216. Il est aisé de former l'équation de courbes algébriques qui 

 admettent un nombre fini^ mais aussi grand qu'on le veut, de 



