COURBES NORMALES. MODULES. ^jS 



transformations biralionnelles en elles-mêmes. Supposons que la 

 courbe G, représentée par l'équation (i), se reproduise par la 

 transformation birationnelle 



(6) j^, = P(=,«). 



f Ui= R(z, u), 



si l'on applique deux fois de suite cette transformation, on obtient 

 une nouvelle transformation qui reproduit aussi Ja courbe C, 



, . I --2 - P[P(^, U), n{z, II)] = P.(^, U), 



^ I u,^-R[P{z,u),R{z,u)] = V{i{z,u); 



d'une manière générale, si l'on pose 



Zi = P(^/_i, «/_i) = P/_i(^, u), 



Ui= R(^/_i, iii-i) = R/_i(z, u), 



on a une suite de transformations birationnelles 



(8) {^-/=P/-i(^,"), 



I Ui= R/-i(^, u), 



qui reproduisent toutes la courbe C. Si la courbe proposée est de 

 genre supérieur à w/?, on ne peut obtenir ainsi qu'un nombre fini 

 de transformations distinctes et, par conséquent, au bout d'un 

 nombre fini d'opérations, on doit retrouver la substitution iden- 

 tique z'=z, u'=u. Supposons que cela arrive après q opéra- 

 tions, de telle sorte que l'on ait identiquement 



Fg-i{z,u)^- z, Rç^i(z,u) = u; 



la transformation considérée est dite d'ordre q. On a 



P^(^, w) == P(5, U). K^i z, u) = R(^, m), 



et, d'une manière générale, 



Vq^i{z, u) = Vi{z, u), Rq+i{z, u) = R(z, u). 



Soient cp(^, «), <l[z^ u) deux fonctions rationnelles de z et de u. 

 Posons 



(9) 



i z r-, cp(5, w)-^?(-i,Wi)-i-...-f-cp(;;^_i,ï^^_i), 



( u -=-^{z,u)-^CL'^{Zy, Mi)-^...-:-a'7-16(^y__,, My._i), 



a désignant une racine primitive de Féquation a9= i. 



