474 CHAPITRE XI. 



Lorsque le point (^, u) décrit la courbe C, le point (Z, U) dé- 

 crit une autre courbe Ci qui correspond point par point à la pre- 

 mière, si les fonctions cp(^, u) et J;(^, u) ont été prises convena- 

 blement. Prenons, par exemple, pour cp et <} deux fonctions 

 rationnelles ayant un seul pôle commun du premier ordre (a, 6), 

 et telles que tous les aulres pôles, ainsi que les points qu'on en 

 déduit par l'application répétée de la transformation (6), soient 

 distincts. Alors la courbe C< a un point à l'infini, avec une direc- 

 tion asymptotique non parallèle aux axes, auquel ne correspond 

 qu'un seul point de la courbe C, le point (a, b). Remarquons 

 maintenant que, lorsqu'on change ^ et w en V{zj u) et R(^, u) 



respectivement, Z ne change pas, tandis que U se change en — ; 



la nouvelle courbe Ci admet donc la transformation birationnelle 

 7J r= Z, aU^ = U, et, par suite, elle est représentée par une équa- 

 tion de la forme F(Z, U^) = o, entière par rapport à Z et à 

 Uï('). 



217. Proposons-nous, pour finir ce sujet, de déterminer 

 toutes les transformations birationnelles qui font revenir sur elle- 

 même une courbe du premier genre. Soit w{z^ u) l'intégrale de 

 première espèce attachée à cette courbe. Entre les coordonnées 

 (^, u) et {z\ u') de deux points correspondants, on doit avoir une 

 relation de la forme (n° 214) 



(lo) w{z' , u') — kw{z, u) -^'Q, 



A et B étant des constantes indépendantes de [z^ u). Récipro- 

 quement, pour qu'une relation de la forme (lo) définisse une cor- 

 respondance birationnelle entre les coordonnées (^, u) et (^', u'\ 

 des deux points, il faut et il suffît, d'après les explications du 

 n^ 203, que w [z' , u') augmente d'une période lorsque w{z^ u) 

 augmente d'une période, et inversement. Soient (o et to' les deux 

 périodes distinctes de l'intégrale; on doit avoir 



( Aw — /7l 0) -r- /2 CO , 



(*) Pour plus de détails sur ces courbes, nous renverrons à un Mémoire de 

 M. Hurwitz {Gottinger Nachrichten, 1887; Mathematische Annalen, t. 32). 



