COURBES NORMALES. MODULES. 47 > 



m, m', n^ n' étant des nombres entiers; de plus les deux périodes 

 Ato, Aco' doivent former un parallélogramme équivalent au paral- 

 lélogramme élémentaire (to, to'), ce qui exige que l'on ait 



(i'2) mn'—m'n— — \. 



Des équations (i i) on tire 



(i3) m'co--T-(n' — m)cow' — nto'-—o, 



équation qui se réduit à une identité si Ton a 



m = /i = o, m ^^ n' 



et, en tenant compte de la relation (12, m = /i' = iî= i . On a 

 donc toujours deux séries de transformations, définies par les 

 formules 



w{^z\ u') r^4- w{z, U) -ht, 



(i4) 



( iv(z\u')= — w{z, u) -h t, 



t désignant un paramètre arbitraire. 



Si Téquation (i3) ne se réduit pas à une identité, on en lire 



co m — n zh \/| ni — li f h- 4 fn n 

 w' -ini 



ou, en tenant compte de la relation (12), 



10 _ ni — n' ± \^' (^ m -+- n' )- ip 4 

 eu' A ni 



Gomme le rapport — doit être imaginaire, on doit prendre le 



signe 4- dans la formule (12) et, en outre, le nombre entier m — n' 

 doit être égal à zéro ou à dz i . On voit donc que, si le module de 

 la courbe de genre un est quelconque, elle n'admet pas d'autres 

 transformations hirationnelles que celles qui sont définies par 

 les formules (i4)- Pour qu'il en existe d'autres, il faut que le 

 rapport des périodes soit racine d'une équation à coefficients en- 

 tiers de la forme (i3), où Ton a mn — m' n ==r i, (m — n')'^ <C 4- 



Le coefficient A s'obtient en éliminant le rapport — entre les 



