47^ CHAPITRE XI. 



équations (i i); on trouve ainsi l'équation 



( A — /?i ) ( A — n') — m' n r= o 

 ou 



A^— {m -^ n')k -f-i — o, 



• 



et comme m + /?/ ne peut prendre que les valeurs o, -f-i, — i , on 

 voit que A doit être racine de Tune des équations 



A2-f-Ir^O, A3--T — O, A3+IZZ.0. 



En résumé, on obtient toutes les transformations birationnelles 

 qui changent en elle-même une courbe de genre un en combinant 

 la transformation 



w{z\ II') =-- w{z, u)-^ t, 



qui dépend d'un paramètre t, avec quelques-unes des transforma- 

 lions 



w {z', u') — Pi.w{z, II), 



A désignant une racine primitive de l'une des équations 



A2 — 1 = 0, , A3 — 1 = 0, A4 — 1 = 0, A6— [ = o. 



218. Voici une application, qui nous sera utile, du théorème de 

 M. Schwarz. Cherchons, d'une manière générale, les courbes C,,^ de 

 degré m et de genre />, telles que toutes les adjointes d'ordre m — 3 

 qui passent par A points quelconques {cf.^, pi), . . . , (a^, [3;^) de G,„ 

 aient en commun avec la courbe donnée k points fixes (•/<, 8i), 

 • • '5 (y/fî ^a) dépendant des premiers; on suppose, bien entendu, 

 h<^p — i. Plaçons-nous d'abord dans l'hjpothèse où les coor- 

 données des points (y, o) dépendent des coordonnées de tous les 

 points (a, |3). Soient M^, M2, ..., M^_.i,/?— i points quel- 

 conques de C„i par lesquels passe une courbe adjointe C„,_3. 

 Formons avec ces p— i points tous les groupes possibles de h 

 points (a, P); à chacun de ces groupes correspond un groupe de 

 k points et tous ces points sont distincts puisque les points M/ 

 sont arbitraires et que chaque groupe de k points (y, 0) dépend 

 de tous les points du premier groupe de h points. La courbe 

 Cw--3 aura donc en commun avec la courbe C,,/, en dehors des 

 points multiples, /j — i h- A-C^_, points simples, G^_^ désignant le 



