COURBES NORMALES. MODULES. 477 



nombre de combinaisons de p — i lettres h à h. Il faut donc que 

 l'on ait 



ceci n'a lieu que si l'on a. h = k := i ou h = p — 2, A' = i. Dans 

 le premier cas, toutes les courbes adjointes passant par un point 

 fixe vont passer par un second point fixe dépendant du premier et 

 la courbe est hjperelliptique. Examinons la seconde solution 

 h = p — 2, k --— i; si /? == 3, elle se confond avec la première. Si 

 p'>'6, elle est inadmissible. En effet, il faudrait que toutes les 

 courbes adjointes d'ordre m — 3 qui passent par /? — 2 points 

 quelconques de Cm aillent passer par un autre point fixe. Les 

 coordonnées [z' ^ u') de ce nouveau point seraient évidemment des 

 fonctions rationnelles des coordonnées de ces p — 2 points, dé- 

 pendant à la fois de tous ces points. Soient 



, r. j z'= R (^1, Mi; ^2, «2, ... ; Zp-^_, Up-^_), 



\ u' = Ri(>si, Ui ; ^2, "2, • • . ; -5^-2, Up-i) 



les expressions de ces coordonnées. Inversement, toutes les 

 courbes adjointes passant par les p — 2 points (^', u')^ . . . , 

 (zp_2, Up_2) doivent passer par un autre point fixe qui est forcé- 

 ment le point (r, , Ui ) et l'on a aussi 



( ^1 -^ R i^', «'; -2, U2' . • ., ^p-2, Up-i), 

 { «1 = Ri (-',«'; -2, W2; . . .: ^p-2, «/;-2)- 



En considérant Go, . . . , Zp_2 comme des paramètres variables, 

 on voit que la courbe Cm admettrait une transformation biration- 

 nelle, dépendant de paramètres, ce qui est impossible puisqu'on 

 suppose /> >> 3. 



Si les coordonnées de quelques-uns des A* points (y, 0) ne dé- 

 pendaient que des coordonnées de h' points (a, p) ih' <i A), il 

 faudrait en conclure que toutes les courbes adjointes d'ordre 

 m — 3 qui passent par h' points quelconques vont passer par un 

 certain nombre d'autres points fixes dépendant de ceux-là, et l'on 

 serait ramené au cas précédent. La conclusion est donc la suivante : 

 les seules courbes qui répondent à la question sont les courbes 

 lijperelliptiques. 



