478 CHAPITRE XI. 



219. Courbes normales. — Parmi toutes les courbes algé- 

 briques appartenant à la même classe, on peut en prendre une, 

 présentant quelque caractère particulier, pour servir de type ou 

 fie courbe normale à la classe considérée. On a cherché surtout 

 jusqu'ici à obtenir pour courbes normales des courbes dont le 

 degré soit aussi peu élevé que possible, mais il est évident que ce 

 n'est pas là une règle absolue; il pourrait y avoir avantage, dans 

 certains cas, à définir la courbe normale par d'autres propriétés. 

 Nous nous sommes déjà occupés de cette question, à diverses re- 

 prises, pour les courbes de genre o, 1,2, et, plus généralement, 

 pour les courbes hjperelliptiques (n*^^ 132, 135, 175). Dans ce qui 

 suit, nous supposerons qu'on a affaire à une classe de courbes non 

 hjperelliptiques et, par conséquent, que le genre est au moins 

 égal à trois. 



Soit C,« une courbe non hyperelliptique de genre p\ prenons 

 sur cette courbe /? — 3 points arbitraires Mi, Mo, - . . , M^„3, et 

 soient Qi = o, Qo = o;, Q3 = o les équations de trois courbes 

 adjointes linéairement indépendantes d'ordre m — 3 passant par 

 ces/? — 3 points. Les points M/ étant pris arbitrairement, on peut 

 toujours supposer que ces trois courbes n'ont aucun point com- 

 mun sur G;7i, en dehors des points M/. Gela posé, lorsque le point 

 (^, ?/) décrit la courbe G,«, le point de coordonnées 



décrit une certaine courbe G', qui correspond point par point à 

 la courbe G^. En effet, soit (a, b) un point quelconque de Cm et 

 (A, B)le point correspondant de G'; à ce point (A, B) correspond 

 sur Cm le seul point {a, b). Pour qu'il en fût autrement, il fau- 

 drait que, quel que fût le point (a, b) de Cm, on pût trouver un 

 autre point (a', b') tel que l'on eût 



ri8^ ' Qjl^l^) = Qii^.b) (h(<jn ^ Q^Aa,b) 



^ ^ qs{a',b') Qs{a,by Q,{a',b') Q-s{a,by 



Toutes les courbes adjointes d'ordre m — 3 passant par les/? — 3 

 points M/ et le point (a, b) iraient passer par un autre point 

 (a', b'); ce qui est impossible, puisque les p — 2 points peuvent 

 être pris arbitrairement. Les formules (17) définissent donc une 



