COURBES NORMALES. MODULES. 479 



transformation birationnelle entre les points des deux courbes C,„ 

 et G'. Il est facile d'avoir le degré de la courbe G'. La fonction 



' ' Q3(2, w) 



où a, 1^, Y sont des constantes quelconques, admet p -\- i pôles 

 du premier ordre, les p -{- i points de rencontre de la courbe 

 Q3 = o avec la courbe G^^, autres que les points M,, Mo, ..., 

 yip-s ; la courbe G est donc de degré /> + i. Ainsi, étant donnée 

 une classe de courbes non hypereltiptiques de genre /?, on peut 

 prendre pour courbe normale une courbe de degré p -h i - 



Ce théorème a d'abord été énoncé par Glebsch et Gordan 

 (Abels'che Functionen, p. 65), mais leur démonstration man- 

 quait de rigueur. G'est M. Picard qui l'a mise à l'abri de toute 

 objection, grâce à la remarque du paragraphe précédent. 



La courbe G/ possède en général un certain nombre de points 

 doubles provenant des couples de points («, 6), {a' , b') satisfai- 

 sant aux relations (i8). On obtient immédiatement le nombre o 

 de ces points doubles, en remarquant que la courbe G' est du 

 genre p ; on trouve ainsi 



Si/> > 3, la courbe normale a nécessairement des points mul- 

 tiples; une droite variable passant par un de ces points rencontre 

 G' en /> — I points mobiles au plus ; le nombre r est donc au plus 

 égal àp ~i (n° 174). 



220. M. Nother emploie une autre courbe normale. Soient 

 Q< (^1 '0? Q2(^') «), . • .,Q;,(3, u) Xesp polynômes adjoints linéai- 

 rement indépendants de degré /?< — 3 -, posons 



(19) Xi = Qi(^, iO, X2 r^Q.2(^, ii), ..., X^, = Qp(^, m), 



et regardons IL^, X^, . . . , X^ comme les coordonnées homogènes 

 d'un point dans l'espace à/? — i dimensions. Lorsque le point ana- 

 lytique {z^ u) décrit la courbe G, le point de coordonnées (X,, 

 Xo, .... Xp) décrit dans l'espace k p — i dimensions une courbe 

 gauche Y qui correspond point par point à la courbe G, si celle-ci 



