COURBES NORMALES. MODULES. 48l 



bles de F fussent des sécantes triples. Cette hypothèse est inad- 

 missible si la courbe F n'est pas une courbe plane. En effet, pre- 

 nons sur F deux points quelconques A et B; la sécante AB 

 rencontre F en un troisième point C. Prenons ensuite sur F un 

 point A' voisin du point A; la sécante A'G doit rencontrer F en 

 un point B' voisin de B. Lorsque le point A' se rapproche indéfi- 

 niment du point Aj les sécantes AA', BB' ont pour limites les 

 tangentes aux points A et B à la courbe F et, comme les droites 

 AA', BB' sont toujours dans un même plan CAA', on en conclut 

 que les tangentes en deux points quelconques de F sont toujours 

 dans un même plan, propriété qui n'appartient qu'aux courbes 

 planes. On lève de même l'objection dans le cas général. 



La courbe normale de Glebsch n'est pas du plus petit degré 

 possible. MM. Brill et Nôther ont montré, en effet, qu'on peut 

 en général faire correspondre, à une courbe de genre /? , une 

 courbe de degré p — t: -h 2, r: désignant la partie entière du quo- 

 tient ^; mais leur démonstration prête à des objections, et ce point 

 appelle de nouvelles recherches. 



221. Modules. — Etant données deux courbes hjperellip- 

 tiques du même genre />, on a vu plus haut que ip — i condi- 

 tions devaient être remplies pour que ces courbes appartiennent 

 à la même classe; ces conditions s'expriment par l'égalité de 

 ip — I fonctions des coefficients des deux équations. De même, 

 toutes les courbes de genre/? dépendent d'un nombre fini de pa- 

 ramètres, si Ton ne considère pas comme distinctes les courbes 

 qui appartiennent à la même classe, puisqu'on peut supposer 

 (n^ 219) que ces courbes sont de degré /? -{- i . Biemann s'est pro- 

 posé de chercher le nombre de ces paramètres, dont dépend 

 essentiellement une classe de courbes de genre /?; il faut entendre 

 par là qu'à des valeurs de ces paramètres, prises arbitrairement, 

 correspond une classe de courbes ou un nombre limité de classes. 

 Ce sont ces paramètres qu'on appelle les modules; il est clair 

 qu'ils se conservent dans toute transformation birationnelle. 

 Riemann a démontré de deux manières différentes que le nombre 

 des modules d'une classe de courbes est égal à 3/? — 3 (/> > i) ; 

 on trouvera l'exposé de ces méthodes dans le Traité d'Analyse 

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