482 CHAPITRE XI. 



de M. Picard (t. II, p. 482). On peut s'en rendre compte au moyen 

 de la courbe normale de Glebsch, de degré p -\-i. Toute courbe 



de degré p-\- i dépend de — — paramètres; si elle est de 



genre p, elle doit avoir ^-^^^ points doubles, ce qui établit 



entre les coefficients de l'équation ce même nombre d'équations. 

 Il reste donc 



(/> + !)(/> + 4) -/>(/> -3) 

 =^p-^-i 



coefficients arbitraires. D'un autre côté, la transformation bira- 

 lionnelle, par laquelle on passe d'une courbe quelconque de genre 

 p à une courbe de degré /> -f- i, dépend de (/> — 3) points indé- 

 terminés; on peut imaginer que l'on ait choisi ces p — 3 points 

 de façon à attribuer des valeurs données à l'avance k p — 3 des 

 coefficients de la courbe normale. Enfin, si Ton fait subir à la 

 courbe normale la transformation homographique générale, qui 

 dépend de huit arbitraires, on peut encore attribuer à huit des 

 coefficients des valeurs données à l'avance. Il restera donc en tout 

 un nombre de paramètres égal à 



4/?-t-2 — (p — 3) — 8 = 3/? — 3. 



Remarque. — Si l'on désigne par p le nombre de paramètres 

 arbitraires dont dépend la transformation birationnelle la plus 

 générale qui fait revenir sur elle-même une courbe de genre/?, le 

 nombre des modules est toujours représenté par 3/? — 3 -j- p. Si 

 /? = o, p = 3, on trouve zéro pour le nombre des modules, comme 

 on devait s'y attendre. Si /? = 1 , p = i ; il y a un seul module 

 (n« 178). Enfin, si /? > i , on a toujours p = o (n° 214). 



222. Du nombre des modules , il est facile de déduire une 

 hmite inférieure pour le degré de la courbe normale du genre p. 

 Soit C^ une courbe de degré q et de genre p ; le nombre des 

 points doubles doit être égal à 



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