COURBES NORMALES. MODULES. 483 



On doit donc avoir d'abord 



(20) {q—i){q—l)lip. 



Cette inégalité étant supposée satisfaite, on démontre, comme 

 au paragraphe précédent, que la courbe C,^ dépend, en tenant 

 compte de la transformation homographique générale, de 



g(y + 3) _ (gr-i)(^-2) _^ g 



2 2 ^ 



paramètres arbitraires; ce qui nous donne une nouvelle inégalité 

 (.,) g(?^3)-(?-.)(?-.)^^_3,3^_3 



pour que la courbe C^ puisse servir de courbe normale de genre/?. 

 De cette dernière inégalité, on tire 



ylE 



( 22 ) q<: 



Soit TT le quotient de la division par 3 du nombre /?, de façon 

 qu'on ait p = Stt, ou St: -f- i , ou St: + 2. L'inégalité (22) peut 

 s'écrire 



^ P 



et la limite inférieure de q est, dans les trois cas, /> — t -f- 2. C'est 

 le degré de la courbe normale de Brill et Nôther. Cela ne veut 

 point dire qu'il n'y ait pas de courbe de genre p dont le degré 

 soit inférieur à cette limite. Par exemple, la courbe du cinquième 

 ordre, sans point multiple, est du genre 6; il faut conclure seule- 

 ment de ce qui précède qu'une courbe quelconque du sixième 

 genre ne peut pas correspondre point par point à une courbe du 

 cinquième degré. 



223. A la recherche des modules se rattache la solution de la 

 question suivante : Etant données deux courbes de même genre/?, 

 non hjperelliptiques, C et Ci, d'ordres m et n, représentées par 

 les équations 



reconnaître si elles appartiennent à la même classe. 



