484 CHAPITRE XI. 



Soient Qi (^, u), Q2 {z, u)^ . . . , Q/,(^, u) les /> polynômes ad- 

 joints d'ordre m — 3 correspondant à la courbe G, et R< (i;', w'), ..., 

 Rp(^', i/) les p polynômes adjoints d'ordre Ji — 3 de la courbe €< . 

 Si l'on peut établir une correspondance point par point entre les 

 points des deux courbes, toute intégrale de première espèce se 

 change en une intégrale de première espèce, et l'on doit avoir entre 

 les coordonnées de deux points correspondants des deux courbes 

 p relations de la forme 



(23) 



F r ClZ — —7 — ; yz tt^ 



Ai, Bi, . . .yhi désignant les constantes. 



On en déduit /> — i relations ne contenant plus dz et dz 



^.N Qi(^>^) ^ QK^,^) 



^^ Al Ki(z', w') +. . .4- Li Rp{z', u') A-Ri{z', u')-i-. . .-H U ^p{^', W) 



Soient r et T^ les deux courbes normales de l'espace àp — i di- 

 mensions qui correspondent aux deux courbes données G et Ci 5 

 les coordonnées homogènes d'un point de F sont 



Xi = Q_i(z, u), ..., Xp = Qp(z,u), 



et les coordonnées homogènes d'un point de F, 



X\ =Ri{z',u'), ..., Xjj = Rp(z',u'). 



Les formules (24) montrent que, si les deux courbes G et G| 

 sont de même classe, les deux courbes normales F et F^ peuvent 

 se déduire l'une de l'autre par une transformation homographique. 

 Gette condition est d'ailleurs suffisante; en effet, si elle est rem- 

 plie, les courbes F et F< et, par suite, G et G, se correspondent 

 point par point. Donc, pour que les courbes du même genre 

 G et Gi appartiennent à la même classe, il faut et il suffit que 

 les courbes normalesT et T ^ puissent se déduire U une de Vautre 

 par une transformation homographique. 



Par exemple, une courbe G4 du quatrième degré, sans point 

 double, coïncide avec là courbe normale F ; on en conclut que les 

 seules transformations birationnelles qui reproduisent une courbe 



