COURBES NORMALES. MODULES. . 485 



du quatrième ordre et du troisième genre sont des transformations 

 homographiques. 



224. Il semblerait, d'après les raisonnements employés jus- 

 qu'ici, que les courbes de genre p se partagent en deux grandes 

 classes : les courbes générales et les courbes hjperelliptiques ; 

 mais une telle vue serait inexacte, et les courbes hyperelliptiques 

 doivent plutôt être considérées comme un cas limite. Prenons 

 en effet une courbe G de genre /? > 3, non hyperelliptique, et soit 



XiQi(^, a) -\- liQiiz, u) -i- XsQsC-, w) -r AiQiC^, u) = o 



l'équation générale des courbes adjointes d'ordre m — 3 , qui 

 passent par p — 4 points fixes quelconques de cette courbe ; 



posons 



Q,iz,u) Qs(^,u) Q4(£^) 



^ Qi(^,")' Qi(^,w)' Qi(^,")* 



On démontre, comme au n*' 219, que, lorsque le point (z, u) 

 décrit la courbe G, le point (X, Y, Z) décrit une courbe gauche F, 

 de degré /> -]- 2, qui correspond point par point à la courbe G. Si 

 l'on projette F sur un plan, le point de vue étant sur F, on obtient 

 la courbe normale de Glebsch ; mais, si le point de vue est en 

 deliors de F, la projection est une courbe de degré/? -{-2, qui, 



devant être de genre />, possède ^-^^ points doubles. Ainsi, à 



la courbe générale de genre/?, on peut faire correspondre, point 

 par point, une courbe de degré p -{- 2 axec^—^ points dou- 

 bles. La conclusion s'applique encore pour/? = 3; car, si l'on 

 applique à la courbe générale du quatrième ordre une transfor- 

 mation quadratique avec trois points fondamentaux pris sur cette 

 courbe, on obtient une courbe du cinquième ordre avec trois 

 points doubles. 



Imaginons maintenant que ces ^^ ^^ points doubles viennent 



se confondre en un seul; on obtient à la limite une courbe de 

 degré p -\- 2 avec un point multiple d'ordre p, c'est-à-dire une 

 courbe hyperelliptique. 



